三角学示例

$y = \arcsin (5 - 3 x^{2})$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \arcsin (5 - 3 y^{2})$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$ 。

$\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $y$ 。

$5 - 3 y^{2} = \sin (x)$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$

解题步骤 2.4

将 $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{- 5}{- 3}$

解题步骤 2.4.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}$

解题步骤 2.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ 是否为 $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ 和 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

解题步骤 4.3

求 $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3} \geq 0$

解题步骤 4.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

从不等式两边同时减去 $\frac{5}{3}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{3} \geq - \frac{5}{3}$

解题步骤 4.3.2.2

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$- \sin (x) \geq - 5$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- \sin (x) \geq - 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.3.1

将 $- \sin (x) \geq - 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.3.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) \leq \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.3.1

用 $- 5$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) \leq 5$

解题步骤 4.3.2.4

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $5$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 4.3.3

定义域为全体实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.4

因为 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ 的定义域并不等于 $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ 并非 $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 5

三角学 示例

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