三角学示例

$y = 4 x^{2} - x + 6$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 4 y^{2} - y + 6$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $4 y^{2} - y + 6 = x$ 。

$4 y^{2} - y + 6 = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$4 y^{2} - y + 6 - x = 0$

解题步骤 2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4

将 $a = 4$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 6 - x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (6 - x))}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot (6 - x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot (6 - x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 6 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $- 16$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 96 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 96 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.1.6

从 $1$ 中减去 $96$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 95 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$

解题步骤 2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot (6 - x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot (6 - x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 6 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $- 16$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 96 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 96 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.6

从 $1$ 中减去 $96$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 95 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$

解题步骤 2.6.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{1 + \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot (6 - x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot (6 - x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 6 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $- 16$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 96 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 96 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.1.6

从 $1$ 中减去 $96$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 95 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$

解题步骤 2.7.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{1 - \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$

解题步骤 2.8

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{1 + \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}, \frac{1 - \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}, \frac{1 - \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$ 是否为 $f (x) = 4 x^{2} - x + 6$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 4 x^{2} - x + 6$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}, \frac{1 - \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = 4 x^{2} - x + 6$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[\frac{95}{16}, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $\frac{1 + \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt{- 95 + 16 x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- 95 + 16 x \geq 0$

解题步骤 4.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

在不等式两边同时加上 $95$ 。

$16 x \geq 95$

解题步骤 4.3.2.2

将 $16 x \geq 95$ 中的每一项除以 $16$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $16 x \geq 95$ 中的每一项都除以 $16$ 。

$\frac{16 x}{16} \geq \frac{95}{16}$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.2.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 x}{16} \geq \frac{95}{16}$

解题步骤 4.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{95}{16}$

解题步骤 4.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[\frac{95}{16}, \infty)$

解题步骤 4.4

求 $f (x) = 4 x^{2} - x + 6$ 的定义域。

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解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}, \frac{1 - \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$ 的定义域为 $f (x) = 4 x^{2} - x + 6$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}, \frac{1 - \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$ 的值域又为 $f (x) = 4 x^{2} - x + 6$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}, \frac{1 - \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$ 为 $f (x) = 4 x^{2} - x + 6$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}, \frac{1 - \sqrt{- 95 + 16 x}}{8}$

解题步骤 5

三角学 示例

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