三角学示例

$y = \sin (\sqrt{x}) + 2$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sin (\sqrt{y}) + 2$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sin (\sqrt{y}) + 2 = x$ 。

$\sin (\sqrt{y}) + 2 = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\sin (\sqrt{y}) = x - 2$

解题步骤 2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$\sqrt{y} = \arcsin (x - 2)$

解题步骤 2.4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{y}}^{2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.5

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

化简 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.5.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.5.2.1.2

化简。

$y = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$ 是否为 $f (x) = \sin (\sqrt{x}) + 2$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2)$ 。

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin ((\sin (\sqrt{x}) + 2) - 2)}^{2}$

解题步骤 4.2.3

合并 $(\sin (\sqrt{x}) + 2) - 2$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin (\sin (\sqrt{x}) + 0)}^{2}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $\sin (\sqrt{x})$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin (\sin (\sqrt{x}))}^{2}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f ({\arcsin (x - 2)}^{2})$ 。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x - 2)}^{2}}) + 2$

解题步骤 4.3.3

去掉圆括号。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x - 2)}^{2}}) + 2$

解题步骤 4.3.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.1

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\arcsin (x - 2)) + 2$

解题步骤 4.3.4.2

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x - 2 + 2$

解题步骤 4.3.5

合并 $x - 2 + 2$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.5.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x + 0$

解题步骤 4.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$ 为 $f (x) = \sin (\sqrt{x}) + 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

三角学 示例

三角学示例