三角学示例

$\frac{a + b}{2} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

解题步骤 1

因为根式位于方程的右边，所以要交换两边以便使其位于方程的左边。

$\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} = \frac{a + b}{2}$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}}^{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ 重写成 ${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{1} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(\frac{a + b}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $\frac{a + b}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{4}$

解题步骤 4

求解 $a$ 。

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解题步骤 4.1

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

解题步骤 4.2.1.1.2

重写表达式。

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2 (2)} \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去公因数。

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.3

重写表达式。

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2}$

解题步骤 4.3

求解 $a$ 。

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解题步骤 4.3.1

两边同时乘以 $2$ 。

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1.1

化简 $(a^{2} + b^{2}) \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 4.3.2.1.1.1.1

运用分配律。

$a^{2} \cdot 2 + b^{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.3.2.1.1.1.2

重新排序。

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解题步骤 4.3.2.1.1.1.2.1

将 $2$ 移到 $a^{2}$ 的左侧。

$2 \cdot a^{2} + b^{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.3.2.1.1.1.2.2

将 $2$ 移到 $b^{2}$ 的左侧。

$2 \cdot a^{2} + 2 \cdot b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.3.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $b^{2}$ 。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

约去公因数。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

重写表达式。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = {(a + b)}^{2}$

解题步骤 4.3.3

求解 $a$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

化简 ${(a + b)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

重写。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = 0 + 0 + {(a + b)}^{2}$

解题步骤 4.3.3.1.2

将 ${(a + b)}^{2}$ 重写为 $(a + b) (a + b)$ 。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = (a + b) (a + b)$

解题步骤 4.3.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(a + b) (a + b)$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.3.1

运用分配律。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a (a + b) + b (a + b)$

解题步骤 4.3.3.1.3.2

运用分配律。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a \cdot a + a b + b (a + b)$

解题步骤 4.3.3.1.3.3

运用分配律。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a \cdot a + a b + b a + b \cdot b$

解题步骤 4.3.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1.4.1.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + b a + b \cdot b$

解题步骤 4.3.3.1.4.1.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + b a + b^{2}$

解题步骤 4.3.3.1.4.2

将 $a b$ 和 $b a$ 相加。

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解题步骤 4.3.3.1.4.2.1

将 $b$ 和 $a$ 重新排序。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + a b + b^{2}$

解题步骤 4.3.3.1.4.2.2

将 $a b$ 和 $a b$ 相加。

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

解题步骤 4.3.3.2

因为 $a$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}$

解题步骤 4.3.3.3

将所有包含 $a$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.3.3.3.1

从等式两边同时减去 $2 a^{2}$ 。

$a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 a^{2} = 2 b^{2}$

解题步骤 4.3.3.3.2

从 $a^{2}$ 中减去 $2 a^{2}$ 。

$- a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 b^{2}$

解题步骤 4.3.3.4

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 4.3.3.4.1

从等式两边同时减去 $2 b^{2}$ 。

$- a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 b^{2} = 0$

解题步骤 4.3.3.4.2

从 $b^{2}$ 中减去 $2 b^{2}$ 。

$- a^{2} + 2 a b - b^{2} = 0$

解题步骤 4.3.3.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.3.3.6

将 $a = - 1$ 、 $b = 2 b$ 和 $c = - b^{2}$ 的值代入二次公式中并求解 $a$ 。

$\frac{- 2 b \pm \sqrt{{(2 b)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.3.7

化简。

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解题步骤 4.3.3.7.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.7.1.1

将 $- 4 \cdot - 1 b^{2}$ 重写为 ${(2 b)}^{2}$ 。

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{{(2 b)}^{2} - {(2 b)}^{2}}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.3.7.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 b$ 和 $b = 2 b$ 。

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{(2 b + 2 b) (2 b - (2 b))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.3.7.1.3

化简。

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解题步骤 4.3.3.7.1.3.1

将 $2 b$ 和 $2 b$ 相加。

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b (2 b - (2 b))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.3.7.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b (2 b - 2 b)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.3.7.1.4

从 $2 b$ 中减去 $2 b$ 。

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b \cdot 0}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.3.7.1.5

合并指数。

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解题步骤 4.3.3.7.1.5.1

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0 b}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.3.7.1.5.2

将 $0$ 乘以 $b$ 。

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.3.7.1.6

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.3.7.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = \frac{- 2 b \pm 0}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.3.7.1.8

$- 2 b$ plus or minus $0$ is $- 2 b$ .

$a = \frac{- 2 b}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.3.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{- 2 b}{- 2}$

解题步骤 4.3.3.7.3

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.7.3.1

约去公因数。

$a = \frac{- 2 b}{- 2}$

解题步骤 4.3.3.7.3.2

用 $b$ 除以 $1$ 。

$a = b$

解题步骤 4.3.3.8

最终答案为两个解的组合。

$a = b$ 的二重根

三角学 示例

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