三角学示例

$(2 \cos (x) - 3 \sin^{2} (x)) = 13$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $13$ 。

$2 \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 13 = 0$

解题步骤 2

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 3 (1 - \cos^{2} (x))$ 替换 $- 3 \sin^{2} (x)$ 。

$2 \cos (x) - 3 (1 - \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$2 \cos (x) - 3 \cdot 1 - 3 (- \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

解题步骤 3.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos (x) - 3 - 3 (- \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$2 \cos (x) - 3 + 3 \cos^{2} (x) - 13 = 0$

解题步骤 4

从 $- 3$ 中减去 $13$ 。

$2 \cos (x) + 3 \cos^{2} (x) - 16 = 0$

解题步骤 5

重新排列多项式。

$3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 16 = 0$

解题步骤 6

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$3 {(u)}^{2} + 2 (u) - 16 = 0$

解题步骤 7

分组因式分解。

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解题步骤 7.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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解题步骤 7.1.1

从 $2 u$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 u^{2} + 2 u - 16 = 0$

解题步骤 7.1.2

把 $2$ 重写为 $- 6$ 加 $8$

$3 u^{2} + (- 6 + 8) u - 16 = 0$

解题步骤 7.1.3

运用分配律。

$3 u^{2} - 6 u + 8 u - 16 = 0$

解题步骤 7.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$3 u^{2} - 6 u + 8 u - 16 = 0$

解题步骤 7.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$3 u (u - 2) + 8 (u - 2) = 0$

解题步骤 7.3

通过因式分解出最大公因数 $u - 2$ 来因式分解多项式。

$(u - 2) (3 u + 8) = 0$

解题步骤 8

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

$3 u + 8 = 0$

解题步骤 9

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 9.1

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

解题步骤 9.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$u = 2$

解题步骤 10

将 $3 u + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 10.1

将 $3 u + 8$ 设为等于 $0$ 。

$3 u + 8 = 0$

解题步骤 10.2

求解 $u$ 的 $3 u + 8 = 0$ 。

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解题步骤 10.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$3 u = - 8$

解题步骤 10.2.2

将 $3 u = - 8$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $3 u = - 8$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 8}{3}$

解题步骤 10.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 8}{3}$

解题步骤 10.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 8}{3}$

解题步骤 10.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 10.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{8}{3}$

解题步骤 11

最终解为使 $(u - 2) (3 u + 8) = 0$ 成立的所有值。

$u = 2, - \frac{8}{3}$

解题步骤 12

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = 2, - \frac{8}{3}$

解题步骤 13

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = 2$

$\cos (x) = - \frac{8}{3}$

解题步骤 14

在 $\cos (x) = 2$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $2$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 15

在 $\cos (x) = - \frac{8}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 15.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- \frac{8}{3}$ 不在值域中，所以无解。

无解

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