三角学示例

$y = \tan (- \frac{3}{4} x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \tan (- \frac{3}{4} y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\tan (- \frac{3}{4} y) = x$ 。

$\tan (- \frac{3}{4} y) = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$- \frac{3}{4} y = \arctan (x)$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{3}{4} y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

组合 $y$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$- \frac{y \cdot 3}{4} = \arctan (x)$

解题步骤 2.3.1.2

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$- \frac{3 y}{4} = \arctan (x)$

解题步骤 2.4

等式两边同时乘以 $- \frac{4}{3}$ 。

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

解题步骤 2.5

化简方程的两边。

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解题步骤 2.5.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.1.1

化简 $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.1.1

将 $- \frac{4}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

解题步骤 2.5.1.1.1.2

将 $- \frac{3 y}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

解题步骤 2.5.1.1.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

解题步骤 2.5.1.1.1.4

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

解题步骤 2.5.1.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

解题步骤 2.5.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.2.1

从 $- 3 y$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

解题步骤 2.5.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

解题步骤 2.5.1.1.2.3

重写表达式。

$- - y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

解题步骤 2.5.1.1.3

乘。

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解题步骤 2.5.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

解题步骤 2.5.1.1.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简 $- \frac{4}{3} \arctan (x)$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.1

组合 $\arctan (x)$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$y = - \frac{\arctan (x) \cdot 4}{3}$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $4$ 移到 $\arctan (x)$ 的左侧。

$y = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$ 是否为 $f (x) = \tan (- \frac{3}{4} x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x))$ 。

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{3}{4} x))}{3}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{x \cdot 3}{4}))}{3}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{3 \cdot x}{4}))}{3}$

解题步骤 4.2.3.3

因为 $\tan (- \frac{3 x}{4})$ 是一个奇函数，所以将 $\tan (- \frac{3 x}{4})$ 重写成 $- \tan (\frac{3 x}{4})$ 。

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (- \tan (\frac{3 x}{4}))}{3}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{4 \arctan (x)}{3})$ 。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (- \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 \arctan (x)}{3}))$

解题步骤 4.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- \frac{3}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 3}{4} \cdot (- \frac{4 \arctan (x)}{3}))$

解题步骤 4.3.3.2

将 $- \frac{4 \arctan (x)}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

解题步骤 4.3.3.3

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

解题步骤 4.3.3.4

约去公因数。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

解题步骤 4.3.3.5

重写表达式。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (- 4 \arctan (x)))$

解题步骤 4.3.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $- 4 \arctan (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (4 (- \arctan (x))))$

解题步骤 4.3.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (4 (- \arctan (x))))$

解题步骤 4.3.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (- 1 \cdot (- \arctan (x)))$

解题步骤 4.3.5

乘。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (1 \cdot \arctan (x))$

解题步骤 4.3.5.2

将 $\arctan (x)$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\arctan (x))$

解题步骤 4.3.6

正切和余切互为反函数。

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$ 为 $f (x) = \tan (- \frac{3}{4} x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$

三角学 示例

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