三角学示例

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} = \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\cos^{2} (x)$ 。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $\sin^{2} (x)$ 。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2

化简 ${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.3

从 $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.4

重新整理项。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.5

使用勾股恒等式。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1

将 ${(\cos (x) - \sin (x))}^{2}$ 重写为 $(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

$(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.2

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

运用分配律。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.2.2

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.2.3

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.1.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.1.3

乘以 $- \sin (x) (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.1.3.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.1.3.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.1.3.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.2

重新排序 $- \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.3.3

从 $- \cos (x) \sin (x)$ 中减去 $\cos (x) \sin (x)$ 。

$\cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.4

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.5

重新整理项。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.6

使用勾股恒等式。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.6.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.7

合并 $1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.7.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 0 = 0$

解题步骤 2.7.2

将 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

解题步骤 4

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 5.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 5.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

$x = \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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