三角学示例

${(7 \sin (x))}^{2} - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

对 $7 \sin (x)$ 运用乘积法则。

$7^{2} \sin^{2} (x) - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

解题步骤 1.1.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$49 \sin^{2} (x) - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

解题步骤 1.1.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.1

使用正弦倍角公式。

$49 \sin^{2} (x) - \frac{4 \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

解题步骤 1.1.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$49 \sin^{2} (x) - \frac{8 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

解题步骤 1.1.4

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1

约去公因数。

$49 \sin^{2} (x) - \frac{8 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

解题步骤 1.1.4.2

用 $8 \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$49 \sin^{2} (x) - (8 \sin (x)) = - 1$

解题步骤 1.1.5

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$49 \sin^{2} (x) - 8 \sin (x) = - 1$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$49 {(u)}^{2} - 8 u = - 1$

解题步骤 3

在等式两边都加上 $1$ 。

$49 u^{2} - 8 u + 1 = 0$

解题步骤 4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5

将 $a = 49$ 、 $b = - 8$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (49 \cdot 1)}}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 49 \cdot 1}}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 49 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $49$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 196 \cdot 1}}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 196$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 196}}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6.1.3

从 $64$ 中减去 $196$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 132}}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6.1.4

将 $- 132$ 重写为 $- 1 (132)$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 132}}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (132)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{132}$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{132}}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{132}}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6.1.7

将 $132$ 重写为 $2^{2} \cdot 33$ 。

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解题步骤 6.1.7.1

从 $132$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6.1.8

从根式下提出各项。

$u = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{33})}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{2 \cdot 49}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $49$ 。

$u = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{98}$

解题步骤 6.3

化简 $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{98}$ 。

$u = \frac{4 \pm i \sqrt{33}}{49}$

解题步骤 7

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}, \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

解题步骤 8

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}, \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

解题步骤 9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}$

$\sin (x) = \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

解题步骤 10

在 $\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{4 + i \sqrt{33}}{49})$

解题步骤 10.2

$\arcsin (\frac{4 + i \sqrt{33}}{49})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 11

在 $\sin (x) = \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{4 - i \sqrt{33}}{49})$

解题步骤 11.2

$\arcsin (\frac{4 - i \sqrt{33}}{49})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 12

列出所有解。

无解

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