三角学示例

${(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2} = 20$

解题步骤 1

对等式两边进行平方。

${({(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2

化简 ${({(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(2 \cos (t) - 4 \sin (t))}^{2}$ 重写为 $(2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t))$ 。

${((2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 \cos (t) - 4 \sin (t)) (2 \cos (t) - 4 \sin (t))$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

${(2 \cos (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

${(2 \cos (t) (2 \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t) - 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

${(2 \cos (t) (2 \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

乘以 $2 \cos (t) (2 \cos (t))$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(4 \cos (t) \cos (t) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.1.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.1.3

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(4 {\cos (t)}^{1 + 1} + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(4 \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) (- 4 \sin (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2

将 $2 \cos (t)$ 和 $- 4 \sin (t)$ 重新排序。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.3

添加圆括号。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 (\sin (t) (2 \cos (t))) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.4

将 $\sin (t)$ 和 $2$ 重新排序。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 (2 \cdot \sin (t) \cos (t)) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.5

使用正弦倍角公式。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (t) (2 \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.6

添加圆括号。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 (\sin (t) (2 \cos (t))) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.7

将 $\sin (t)$ 和 $2$ 重新排序。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 (2 \cdot \sin (t) \cos (t)) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.8

使用正弦倍角公式。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (t) (- 4 \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.9

乘以 $- 4 \sin (t) (- 4 \sin (t))$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.9.1

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 \sin (t) \sin (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.9.2

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.9.3

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 {\sin (t)}^{1 + 1} + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(4 \cos^{2} (t) - 4 \sin (2 t) - 4 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.2

从 $- 4 \sin (2 t)$ 中减去 $4 \sin (2 t)$ 。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + {(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.4

将 ${(4 \cos (t) + 2 \sin (t))}^{2}$ 重写为 $(4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t))$ 。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + (4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(4 \cos (t) + 2 \sin (t)) (4 \cos (t) + 2 \sin (t))$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

运用分配律。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.5.2

运用分配律。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t) + 2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.5.3

运用分配律。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 4 \cos (t) (4 \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.1.1

乘以 $4 \cos (t) (4 \cos (t))$ 。

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解题步骤 2.1.6.1.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos (t) \cos (t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.1.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.1.3

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 {\cos (t)}^{1 + 1} + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.2

添加圆括号。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 (\cos (t) (2 \sin (t))) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.3

将 $\cos (t)$ 和 $2 \sin (t)$ 重新排序。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 (2 \sin (t) \cos (t)) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.4

使用正弦倍角公式。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 2 \sin (t) (4 \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.5

将 $2 \sin (t)$ 和 $4 \cos (t)$ 重新排序。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \cos (t) (2 \sin (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.6

添加圆括号。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\cos (t) (2 \sin (t))) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.7

将 $\cos (t)$ 和 $2 \sin (t)$ 重新排序。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 (2 \sin (t) \cos (t)) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.8

使用正弦倍角公式。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 2 \sin (t) (2 \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.9

乘以 $2 \sin (t) (2 \sin (t))$ 。

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解题步骤 2.1.6.1.9.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (t) \sin (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.9.2

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\sin^{1} (t) \sin (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.9.3

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 {\sin (t)}^{1 + 1})}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.1.6.2

将 $4 \sin (2 t)$ 和 $4 \sin (2 t)$ 相加。

${(4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 8 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简项。

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解题步骤 2.2.1

合并 $4 \cos^{2} (t) - 8 \sin (2 t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 8 \sin (2 t) + 4 \sin^{2} (t)$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 8 \sin (2 t)$ 和 $8 \sin (2 t)$ 相加。

${(4 \cos^{2} (t) + 0 + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $4 \cos^{2} (t)$ 和 $0$ 相加。

${(4 \cos^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.2.2

移动 $4 \sin^{2} (t)$ 。

${(4 \cos^{2} (t) + 4 \sin^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.2.3

从 $4 \cos^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

${(4 (\cos^{2} (t)) + 4 \sin^{2} (t) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.2.4

从 $4 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

${(4 (\cos^{2} (t)) + 4 (\sin^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.2.5

从 $4 (\cos^{2} (t)) + 4 (\sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $4$ 。

${(4 (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.3

重新整理项。

${(4 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.4

使用勾股恒等式。

${(4 \cdot 1 + 16 \sin^{2} (t) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.5.1

从 $16 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $16$ 。

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t)) + 16 \cos^{2} (t))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.5.2

从 $16 \cos^{2} (t)$ 中分解出因数 $16$ 。

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t)) + 16 (\cos^{2} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.5.3

从 $16 (\sin^{2} (t)) + 16 (\cos^{2} (t))$ 中分解出因数 $16$ 。

${(4 \cdot 1 + 16 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)))}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.6

使用勾股恒等式。

${(4 \cdot 1 + 16 \cdot 1)}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.7

化简项。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

${(4 + 16 \cdot 1)}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.7.1.2

将 $16$ 乘以 $1$ 。

${(4 + 16)}^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.7.2

化简表达式。

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解题步骤 2.7.2.1

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$20^{2} = {(20)}^{2}$

解题步骤 2.7.2.2

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$400 = {(20)}^{2}$

解题步骤 3

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$400 = 400$

解题步骤 4

因为 $400 = 400$ ，所以方程对于 $t$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

三角学 示例

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