三角学示例

$(\sin (x) + 0.2) (\cos (2 x) - 1) = 0$

解题步骤 1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) + 0.2 = 0$

$\cos (2 x) - 1 = 0$

解题步骤 2

将 $\sin (x) + 0.2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\sin (x) + 0.2$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) + 0.2 = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) + 0.2 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $0.2$ 。

$\sin (x) = - 0.2$

解题步骤 2.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 0.2)$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

计算 $\arcsin (- 0.2)$ 。

$x = - 0.20135792$

解题步骤 2.2.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$

解题步骤 2.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.2.5.1

从 $2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 2.2.5.2

得出的角 $3.34295057$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$ 共边。

$x = 3.34295057$

解题步骤 2.2.6

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.2.7

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.2.7.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.20135792$ 以求正角。

$- 0.20135792 + 2 π$

解题步骤 2.2.7.2

从 $2 π$ 中减去 $0.20135792$ 。

$6.08182738$

解题步骤 2.2.7.3

列出新角。

$x = 6.08182738$

解题步骤 2.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

将 $\cos (2 x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\cos (2 x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (2 x) - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\cos (2 x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\cos (2 x) = 1$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (1)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 x = 0$

解题步骤 3.2.4

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 x = 2 π - 0$

解题步骤 3.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

化简。

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解题步骤 3.2.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 x = 2 π + 0$

解题步骤 3.2.6.1.2

将 $2 π$ 和 $0$ 相加。

$2 x = 2 π$

解题步骤 3.2.6.2

将 $2 x = 2 π$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.6.2.1

将 $2 x = 2 π$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.2.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.2.6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.2.6.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.6.2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.2.3.1.1

约去公因数。

$x = \frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.2.6.2.3.1.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$x = π$

解题步骤 3.2.7

求 $\cos (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.7.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 3.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.2.7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.8

$\cos (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

最终解为使 $(\sin (x) + 0.2) (\cos (2 x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $π n$ 和 $π + π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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