三角学示例

$\sin (x) + \sqrt{3} \cos (x) < 0$

解题步骤 1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.2

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 4

分离分数。

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 6

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0 \sec (x)$

解题步骤 7

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0$

解题步骤 8

从不等式两边同时减去 $\sqrt{3}$ 。

$\tan (x) < - \sqrt{3}$

解题步骤 9

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x < \arctan (- \sqrt{3})$

解题步骤 10

化简右边。

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解题步骤 10.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$x < - \frac{π}{3}$

解题步骤 11

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{3} - π$

解题步骤 12

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 12.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{3} - π$ 。

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

解题步骤 12.2

得出的角 $\frac{2 π}{3}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{3} - π$ 共边。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 13

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 13.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 13.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 13.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 14

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 14.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + π$

解题步骤 14.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 14.3

合并分数。

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解题步骤 14.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 14.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 14.4

化简分子。

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解题步骤 14.4.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 14.4.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 14.5

列出新角。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 15

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

合并答案。

$x = \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 17

使用每一个根建立验证区间。

解题步骤 18

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

解题步骤 19

因为没有任何数处于区间内，所以此不等式无解。

无解

三角学 示例

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