三角学示例

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = {(\frac{x}{r})}^{2} + {(\frac{y}{r})}^{2}$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 ${(\frac{x}{r})}^{2}$ 。

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} = {(\frac{y}{r})}^{2}$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 ${(\frac{y}{r})}^{2}$ 。

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

解题步骤 2

化简 $\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

重新整理项。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

解题步骤 2.2

使用勾股恒等式。

$1 - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

解题步骤 2.3

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1

对 $\frac{x}{r}$ 运用乘积法则。

$1 - \frac{x^{2}}{r^{2}} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

解题步骤 2.3.2

对 $\frac{y}{r}$ 运用乘积法则。

$1 - \frac{x^{2}}{r^{2}} - \frac{y^{2}}{r^{2}} = 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} - \frac{y^{2}}{r^{2}} = - 1$

解题步骤 3.1.2

在等式两边都加上 $\frac{y^{2}}{r^{2}}$ 。

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{x^{2}}{r^{2}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{x^{2}}{r^{2}}}{1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

解题步骤 3.2.2.2

用 $\frac{x^{2}}{r^{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

解题步骤 3.2.3.1.2

移动 $\frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 - 1 \cdot \frac{y^{2}}{r^{2}}$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $- 1 \cdot \frac{y^{2}}{r^{2}}$ 重写为 $- \frac{y^{2}}{r^{2}}$ 。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}$

解题步骤 3.3

两边同时乘以 $r^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} r^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.1.1

约去 $r^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2}}{r^{2}} r^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

解题步骤 3.4.1.1.2

重写表达式。

$x^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $(1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

运用分配律。

$x^{2} = 1 r^{2} - \frac{y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $r^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} = r^{2} - \frac{y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3

约去 $r^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.3.1

将 $- \frac{y^{2}}{r^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$x^{2} = r^{2} + \frac{- y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3.2

约去公因数。

$x^{2} = r^{2} + \frac{- y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3.3

重写表达式。

$x^{2} = r^{2} - y^{2}$

解题步骤 3.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{r^{2} - y^{2}}$

解题步骤 3.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = r$ 和 $b = y$ 。

$x = \pm \sqrt{(r + y) (r - y)}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

解题步骤 3.5.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。