三角学示例

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

解题步骤 1.1.2

化简分母。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \tan (x)$ 。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \cot (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.3

化简。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))} - \cot (x) = 0$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

解题步骤 1.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

解题步骤 1.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

解题步骤 1.1.5

将 $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} - \cot (x) = 0$

解题步骤 1.1.6

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 2

等式两边同时乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3

运用分配律。

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 4

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

从 $\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 4.2

约去公因数。

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 4.3

重写表达式。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 6

乘以 $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 6.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 6.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 7

将 $\cos (x)$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

解题步骤 8

等式两边同时乘以 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 9

运用分配律。

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 10

乘以 $\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ 。

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解题步骤 10.1

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ 。

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 10.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 10.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 11

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 12

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

解题步骤 13

将 $\sin (x)$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 14

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $2 (1 - \cos^{2} (x))$ 替换 $2 \sin^{2} (x)$ 。

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

运用分配律。

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 15.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 15.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 16

从 $- 2 \cos^{2} (x)$ 中减去 $\cos^{2} (x)$ 。

$2 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 17

重新排列多项式。

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 = 0$

解题步骤 18

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- 3 \cos^{2} (x) = - 2$

解题步骤 19

将 $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 19.1

将 $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

解题步骤 19.2

化简左边。

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解题步骤 19.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

解题步骤 19.2.1.2

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 2}{- 3}$

解题步骤 19.3

化简右边。

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解题步骤 19.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos^{2} (x) = \frac{2}{3}$

解题步骤 20

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

解题步骤 21

化简 $\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 21.1

将 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 21.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 21.3

合并和化简分母。

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解题步骤 21.3.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 21.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 21.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 21.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 21.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 21.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 21.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 21.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 21.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 21.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 21.3.6.4.1

约去公因数。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 21.3.6.4.2

重写表达式。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 21.3.6.5

计算指数。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 21.4

化简分子。

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解题步骤 21.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 21.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 22

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 22.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 22.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 22.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 23

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 24

在 $\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 24.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$

解题步骤 24.2

化简右边。

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解题步骤 24.2.1

计算 $\arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$ 。

$x = 0.6154797$

解题步骤 24.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

解题步骤 24.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 24.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

解题步骤 24.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 0.6154797$ 。

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解题步骤 24.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 0.6154797$

解题步骤 24.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $0.6154797$ 。

$x = 5.66770559$

解题步骤 24.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 24.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 24.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 24.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 24.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 24.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 25

在 $\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 25.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

解题步骤 25.2

化简右边。

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解题步骤 25.2.1

计算 $\arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$ 。

$x = 2.52611294$

解题步骤 25.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

解题步骤 25.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 25.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

解题步骤 25.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 2.52611294$ 。

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解题步骤 25.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 2.52611294$

解题步骤 25.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $2.52611294$ 。

$x = 3.75707236$

解题步骤 25.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 25.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 25.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 25.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 25.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 25.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 26

列出所有解。

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 27

合并解集。

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解题步骤 27.1

将 $0.6154797 + 2 π n$ 和 $3.75707236 + 2 π n$ 合并为 $0.6154797 + π n$ 。

$x = 0.6154797 + π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 27.2

将 $5.66770559 + 2 π n$ 和 $2.52611294 + 2 π n$ 合并为 $2.52611294 + π n$ 。

$x = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 28

排除不能使 $\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$ 成立的解。

无解

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