三角学示例

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} = \sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}}$

解题步骤 1

因为根式位于方程的右边，所以要交换两边以便使其位于方程的左边。

$\sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}}}^{2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}}$ 重写成 ${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1^{2} - \cos^{2} (x)})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (x)$ 。

${(\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.3.1

约去 ${(1 - \cos (x))}^{2}$ 和 $1 - \cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.3.1.1

从 ${(1 - \cos (x))}^{2}$ 中分解出因数 $1 - \cos (x)$ 。

${(\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1.3.1.2.1

从 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 中分解出因数 $1 - \cos (x)$ 。

${(\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3.1.2.2

约去公因数。

${(\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3.1.2.3

重写表达式。

${(\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)})}^{1} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3.2

化简。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x) \cdot 1}$

解题步骤 3.3.1.3

分离分数。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.1.4

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\csc^{2} (x)$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1} \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1.5.1

用 ${(1 - \cos (x))}^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(1 - \cos (x))}^{2} \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.5.2

将 ${(1 - \cos (x))}^{2}$ 重写为 $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

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解题步骤 3.3.1.6.1

运用分配律。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.6.2

运用分配律。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.6.3

运用分配律。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.7.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.7.1.2

将 $- \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.7.1.4

乘以 $- \cos (x) (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 3.3.1.7.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.7.1.4.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.7.1.4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.7.1.4.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.7.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.7.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.7.2

从 $- \cos (x)$ 中减去 $\cos (x)$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = (1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.8

运用分配律。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = 1 \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.9

化简。

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解题步骤 3.3.1.9.1

将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.3.1.9.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.9.3

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.1.9.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cos^{2} (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.1.9.5

组合 $\cos^{2} (x)$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.1.10

将 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\cot^{2} (x)$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

两边同时乘以 $1 + \cos (x)$ 。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} (1 + \cos (x)) = (\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.1

约去 $1 + \cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} (1 + \cos (x)) = (\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.1.1.2

重写表达式。

$1 - \cos (x) = (\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 $(\csc^{2} (x) - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 - \cos (x) = ({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$1 - \cos (x) = (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2.1.1.3

一的任意次幂都为一。

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2.1.1.4

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2.1.1.5

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2.1.1.6

一的任意次幂都为一。

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2 \cos (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2.1.1.7

乘以 $- 2 \cos (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1.7.1

组合 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 和 $- 2$ 。

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2.1.1.7.2

组合 $\frac{- 2}{\sin^{2} (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2.1.1.8

将负号移到分数的前面。

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{(2) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \cot^{2} (x)) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2.1.1.9

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2.1.1.10

对 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$1 - \cos (x) = (\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) (1 + \cos (x))$

解题步骤 4.2.2.1.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) (1 + \cos (x))$ 。

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 4.2.2.1.3

化简项。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1.1

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 乘以 $1$ 。

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 4.2.2.1.3.1.2

组合 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 4.2.2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 4.2.2.1.3.1.4

乘以 $- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1.4.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 4.2.2.1.3.1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 4.2.2.1.3.1.4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 4.2.2.1.3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 4.2.2.1.3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - \cos (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 4.2.2.1.3.1.5

将 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 乘以 $1$ 。

解题步骤 4.2.2.1.3.1.6

乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1.6.1

组合 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

解题步骤 4.2.2.1.3.1.6.2

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1.6.2.1

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1.6.2.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.2.2.1.3.1.6.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 4.2.2.1.3.1.6.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

解题步骤 4.2.2.1.3.2

化简项。

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解题步骤 4.2.2.1.3.2.1

在公分母上合并分子。

$1 - \cos (x) = \frac{1 + \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2.1.3.2.2

从 $\cos (x)$ 中减去 $2 \cos (x)$ 。

$1 - \cos (x) = \frac{1 - \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2.1.3.2.3

将 $- 2 \cos^{2} (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 相加。

$1 - \cos (x) = \frac{1 - \cos (x) - \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.1.4.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.4.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) - \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2.1.4.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$1 - \cos (x) = \frac{1 (1 - \cos (x)) - \cos^{2} (x) (1 - \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2.1.4.2

通过因式分解出最大公因数 $1 - \cos (x)$ 来因式分解多项式。

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2.1.4.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (1^{2} - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2.1.4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (x)$ 。

$1 - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2.1.4.5

合并指数。

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解题步骤 4.2.2.1.4.5.1

对 $1 - \cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{1} (1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2.1.4.5.2

对 $1 - \cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{1} {(1 - \cos (x))}^{1} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2.1.4.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{1 + 1} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2.1.4.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - \cos (x) = \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$ 。

$1 - \cos (x) - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2

化简 $1 - \cos (x) - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要将 $- \cos (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$1 - \cos (x) \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.2

组合 $- \cos (x)$ 和 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{{(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.3

在公分母上合并分子。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - {(1 - \cos (x))}^{2} (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.4.1.1

将 ${(1 - \cos (x))}^{2}$ 重写为 $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - ((1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.1.2.1

运用分配律。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.2.2

运用分配律。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.2.3

运用分配律。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.2.4.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.4.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.3.1.2

将 $- \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.3.1.4

乘以 $- \cos (x) (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.3.1.4.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.3.1.4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.3.1.4.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.3.2

从 $- \cos (x)$ 中减去 $\cos (x)$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - (1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.4

运用分配律。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - (- 2 \cos (x)) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.5

化简。

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解题步骤 4.3.2.4.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + (- 1 - (- 2 \cos (x)) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.5.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + (- 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x))$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.4.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7.2

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7.4

乘以 $2 \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.1.7.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7.6

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.1.7.6.1

移动 $\cos (x)$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7.6.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.1.7.6.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.7.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 - \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.8

将 $- \cos (x)$ 和 $2 \cos (x)$ 相加。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.9

从 $2 \cos^{2} (x)$ 中减去 $\cos^{2} (x)$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.10

移动 $\cos (x)$ 。

$1 + \frac{- \cos (x) \sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.11

将 $- \cos (x) \sin^{2} (x)$ 和 $\cos (x)$ 重新排序。

$1 + \frac{\cos (x) - \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.12

乘以 $1$ 。

$1 + \frac{\cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.13

从 $- \cos (x) \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$1 + \frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin^{2} (x)) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.14

从 $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$1 + \frac{\cos (x) \cdot (1 - \sin^{2} (x)) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.15

使用勾股恒等式。

$1 + \frac{\cos (x) \cdot \cos^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.16

通过指数相加将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.1.16.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.1.16.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cdot \cos^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.16.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 2} - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.16.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$1 + \frac{\cos^{3} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.17

合并 $\cos^{3} (x) - 1 + \cos^{2} (x) - \cos^{3} (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.2.4.1.17.1

从 $\cos^{3} (x)$ 中减去 $\cos^{3} (x)$ 。

$1 + \frac{0 - 1 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.17.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$1 + \frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.18

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$1 + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.19

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$1 + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.20

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$1 + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.21

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$1 + \frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.1.22

使用勾股恒等式。

$1 + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.2

约去 $\sin^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.2.1

约去公因数。

$1 + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

解题步骤 4.3.2.4.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$1 - 1 = 0$

解题步骤 4.3.2.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 = 0$

解题步骤 4.3.3

因为 $0 = 0$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

三角学 示例

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