三角学示例

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \sin^{2} (x)$ 替换 $\cos^{2} (x)$ 。

$(1 - \sin^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

重新排列多项式。

$- \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

化简 $- \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简表达式。

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解题步骤 3.1.1.1

移动 $1$ 。

$- \sin^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 3.1.1.2

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $1$ 重新排序。

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 3.1.2

使用勾股恒等式。

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 3.1.3

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

解题步骤 3.1.3.2

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

解题步骤 3.1.4

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\tan^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 4

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \sin^{2} (x)$ 替换 $\cos^{2} (x)$ 。

$(1 - \sin^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 5

重新排列多项式。

$- \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

解题步骤 6

化简 $- \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1$ 。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

移动 $1$ 。

$- \sin^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 6.1.2

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $1$ 重新排序。

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 6.2

使用勾股恒等式。

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 6.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

解题步骤 6.3.2

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

解题步骤 6.4

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\tan^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 7

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 7.1

从等式两边同时减去 $\sec^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.2

将 $\tan^{2} (x)$ 和 $- \sec^{2} (x)$ 重新排序。

$\cos^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.3

从 $- \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\cos^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.4

从 $\tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\cos^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)) = 0$

解题步骤 7.5

从 $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\cos^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) = 0$

解题步骤 7.6

使用勾股恒等式。

$\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 7.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 7.8

将 $\cos^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- 1 + \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.9

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.10

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 7.11

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 7.12

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$- (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 7.13

使用勾股恒等式。

$- \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 8

将 $- \sin^{2} (x) = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $- \sin^{2} (x) = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin^{2} (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin^{2} (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 8.2.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$\sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 9

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 10

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 10.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 10.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sin (x) = \pm 0$

解题步骤 10.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 11

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 12

化简右边。

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解题步骤 12.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 13

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 14

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 15

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 15.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 15.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 15.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 15.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 16

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 17

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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