三角学示例

$\log (a) + \log (a + 21) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log (a (a + 21)) = 2$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\log (a \cdot a + a \cdot 21) = 2$

解题步骤 1.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\log (a^{2} + a \cdot 21) = 2$

解题步骤 1.3.2

将 $21$ 移到 $a$ 的左侧。

$\log (a^{2} + 21 a) = 2$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log (a^{2} + 21 a) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{2} = a^{2} + 21 a$

解题步骤 3

求解 $a$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $a^{2} + 21 a = 10^{2}$ 。

$a^{2} + 21 a = 10^{2}$

解题步骤 3.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$a^{2} + 21 a = 100$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $100$ 。

$a^{2} + 21 a - 100 = 0$

解题步骤 3.4

使用 AC 法来对 $a^{2} + 21 a - 100$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 100$ ，和为 $21$ 。

$- 4, 25$

解题步骤 3.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(a - 4) (a + 25) = 0$

解题步骤 3.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$a - 4 = 0$

$a + 25 = 0$

解题步骤 3.6

将 $a - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $a - 4$ 设为等于 $0$ 。

$a - 4 = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$a = 4$

解题步骤 3.7

将 $a + 25$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $a + 25$ 设为等于 $0$ 。

$a + 25 = 0$

解题步骤 3.7.2

从等式两边同时减去 $25$ 。

$a = - 25$

解题步骤 3.8

最终解为使 $(a - 4) (a + 25) = 0$ 成立的所有值。

$a = 4, - 25$

解题步骤 4

排除不能使 $\log (a) + \log (a + 21) = 2$ 成立的解。

$a = 4$

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