三角学示例

$\frac{\cot (x)}{\csc (x) - 1} = \frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简 $\frac{\cot (x)}{\csc (x) - 1}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\csc (x) - 1} = \frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$

解题步骤 1.1.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$

解题步骤 1.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

化简 $\frac{\csc (x) + 1}{\cot (x)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\cot (x)}$

解题步骤 2.1.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = (\frac{1}{\sin (x)} + 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.1.4

运用分配律。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.1.5

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.1.5.2

重写表达式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2.1.6

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3

等式两边同时乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 4

乘以 $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$ 。

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解题步骤 4.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$ 。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 5

运用分配律。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

约去公因数。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} = 1 + \sin (x)$

解题步骤 8

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 8.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} - 1 = \sin (x)$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $\sin (x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} - 1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 9

化简 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} - 1 - \sin (x)$ 。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} - 1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 9.1.2

分离分数。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 9.1.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} \cot (x) - 1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 9.1.4

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\csc (x) - 1} \cot (x) - 1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 9.1.5

组合 $\frac{\cos (x)}{\csc (x) - 1}$ 和 $\cot (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{\csc (x) - 1} - 1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 9.2

要将 $- \sin (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\csc (x) - 1}{\csc (x) - 1}$ 。

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{\csc (x) - 1} - \sin (x) \cdot \frac{\csc (x) - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

解题步骤 9.3

组合 $- \sin (x)$ 和 $\frac{\csc (x) - 1}{\csc (x) - 1}$ 。

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{\csc (x) - 1} + \frac{- \sin (x) (\csc (x) - 1)}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) \cot (x) - \sin (x) (\csc (x) - 1)}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

解题步骤 9.5

化简分子。

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解题步骤 9.5.1

运用分配律。

$\frac{\cos (x) \cot (x) - \sin (x) \csc (x) - \sin (x) \cdot - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

解题步骤 9.5.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 9.5.2.1

添加圆括号。

$\frac{\cos (x) \cot (x) - (\sin (x) \csc (x)) - \sin (x) \cdot - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

解题步骤 9.5.2.2

将 $\sin (x)$ 和 $\csc (x)$ 重新排序。

$\frac{\cos (x) \cot (x) - (\csc (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

解题步骤 9.5.2.3

将 $- \sin (x) \csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x) \cot (x) - (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x)) - \sin (x) \cdot - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

解题步骤 9.5.2.4

约去公因数。

$\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 \cdot 1 - \sin (x) \cdot - 1}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

解题步骤 9.5.3

乘以 $- \sin (x) \cdot - 1$ 。

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解题步骤 9.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 \cdot 1 + 1 \sin (x)}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

解题步骤 9.5.3.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 \cdot 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

解题步骤 9.5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} - 1 = 0$

解题步骤 10

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1}}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 11

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\cos (x) \cot (x) - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 12

化简分子。

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解题步骤 12.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 12.2

乘以 $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 12.2.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 12.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 12.2.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 12.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 12.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\csc (x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 13

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 14

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (x)$ .

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解题步骤 14.1

将 $\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 14.2

合并。

$\frac{\sin (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x))}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 15

运用分配律。

$\frac{\sin (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)}) + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 16

通过相约进行化简。

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解题步骤 16.1

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 16.1.1

约去公因数。

解题步骤 16.1.2

重写表达式。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)}) + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 16.2

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.1

约去公因数。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)}) + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 16.2.2

重写表达式。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 17

化简分子。

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解题步骤 17.1

重新整理项。

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 17.2

重新整理项。

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 17.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 17.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 17.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 17.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 17.7

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + 1}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 17.8

将 $- 1$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + 1}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 17.9

将 $- 1 \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{- \sin (x) + 1}{1 + \sin (x) \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 18

化简分母。

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解题步骤 18.1

将 $- 1$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$\frac{- \sin (x) + 1}{1 - 1 \cdot \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 18.2

将 $- 1 \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{- \sin (x) + 1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 19

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 19.1

约去 $- \sin (x) + 1$ 和 $1 - \sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 19.1.1

重新排序项。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 19.1.2

约去公因数。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 19.1.3

重写表达式。

$1 (\frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 19.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 20

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 21

分离分数。

$\sec (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 22

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 23

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 24

分离分数。

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 25

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 26

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\sec (x) - \sec (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 27

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) - \sec (x) = 0$

解题步骤 28

从 $\sec (x)$ 中减去 $\sec (x)$ 。

$0 = 0$

解题步骤 29

因为 $0 = 0$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 30

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

三角学 示例

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