三角学示例

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} = \frac{1}{1 - \sec (x)}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

解题步骤 2

化简 $\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}$ 。

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解题步骤 2.1

从 $\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- \frac{1}{1 - \sec (x)}$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} + 1 (- \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $1 \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} + 1 (- \frac{1}{1 - \sec (x)})$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 (\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

解题步骤 2.2

移动 $- 1$ 。

$1 (\frac{\sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

解题步骤 2.3

将 $\sin^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$1 (\frac{- 1 + \sin^{2} (x) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$1 (\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

解题步骤 2.5

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$1 (\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

解题步骤 2.6

从 $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$1 (\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

解题步骤 2.7

将 $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \sin^{2} (x))$ 。

$1 (\frac{- (1 - \sin^{2} (x)) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

解题步骤 2.8

使用勾股恒等式。

$1 (\frac{- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}) = 0$

解题步骤 2.9

将 $\frac{- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

解题步骤 2.10

化简每一项。

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解题步骤 2.10.1

从 $- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 2.10.1.1

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

解题步骤 2.10.1.2

从 $2 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 2}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

解题步骤 2.10.1.3

从 $\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 2$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \sec (x)} = 0$

解题步骤 2.10.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} - \frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} = 0$

解题步骤 2.11

要将 $\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}}$ 。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} \cdot \frac{1 - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} - \frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} = 0$

解题步骤 2.12

要将 $- \frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}$ 。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} \cdot \frac{1 - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} - \frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} \cdot \frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} = 0$

解题步骤 2.13

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ 的形式。

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解题步骤 2.13.1

将 $\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2)}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}$ 乘以 $\frac{1 - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}}$ 。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{(\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3) (1 - \frac{1}{\cos (x)})} - \frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} \cdot \frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3} = 0$

解题步骤 2.13.2

将 $\frac{1}{1 - \frac{1}{\cos (x)}}$ 乘以 $\frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}$ 。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{(\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3) (1 - \frac{1}{\cos (x)})} - \frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.13.3

重新排序 $(\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ 的因式。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} - \frac{\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.14

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15

化简分子。

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解题步骤 2.15.1

运用分配律。

$\frac{(\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(- \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 2) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.3

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$\frac{(- \cos (x) \cos (x) + 2 \cdot \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.4

乘以 $- \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.15.4.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(- (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cdot \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(- (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cdot \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(- {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cdot \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(- \cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

$\frac{(- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.5

使用 FOIL 方法展开 $(- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x)) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ 。

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解题步骤 2.15.5.1

运用分配律。

$\frac{- \cos^{2} (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) + 2 \cos (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.5.2

运用分配律。

$\frac{- \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + 2 \cos (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.5.3

运用分配律。

$\frac{- \cos^{2} (x) \cdot 1 - \cos^{2} (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.15.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.15.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.1.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.6.1.2.1

将 $- \frac{1}{\cos (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \frac{- 1}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.1.2.2

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) (- \cos (x)) \frac{- 1}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.1.2.3

约去公因数。

解题步骤 2.15.6.1.2.4

重写表达式。

$\frac{- \cos^{2} (x) - \cos (x) \cdot - 1 + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.1.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.1.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.1.6

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.6.1.6.1

将 $- \frac{1}{\cos (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)} - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.1.6.2

从 $2 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{- 1}{\cos (x)} - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.1.6.3

约去公因数。

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{- 1}{\cos (x)} - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.1.6.4

重写表达式。

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cdot - 1 - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.1.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.6.2

将 $\cos (x)$ 和 $2 \cos (x)$ 相加。

$\frac{- \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 - (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.7

运用分配律。

$\frac{- \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 - \sin^{2} (x) - (3 \cos (x)) - - 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.8

化简。

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解题步骤 2.15.8.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 - \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) - - 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.8.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 - \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) + 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.9

从 $3 \cos (x)$ 中减去 $3 \cos (x)$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x) + 0 - 2 - \sin^{2} (x) + 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.10

将 $- \cos^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \cos^{2} (x) - 2 - \sin^{2} (x) + 3}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.11

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- \cos^{2} (x) + 1 - \sin^{2} (x)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.12

将 $- \cos^{2} (x)$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1 - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.13

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.15.14

从 $\sin^{2} (x)$ 中减去 $\sin^{2} (x)$ 。

$\frac{0}{(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)} = 0$

解题步骤 2.16

用 $0$ 除以 $(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (\sin^{2} (x) + 3 \cos (x) - 3)$ 。

$0 = 0$

解题步骤 3

因为 $0 = 0$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

三角学 示例

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