三角学示例

$2 \sin (5 x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 1

将 $2 \sin (5 x) = - \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $2 \sin (5 x) = - \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (5 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (5 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $\sin (5 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (5 x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (5 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$5 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$5 x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 4

将 $5 x = - \frac{π}{4}$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $5 x = - \frac{π}{4}$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{4}}{5}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{4}}{5}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{5}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 4.3.2

乘以 $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{5 \cdot 4}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$x = - \frac{π}{20}$

解题步骤 5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$5 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.1

从 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$5 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 6.2

得出的角 $\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

$5 x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 6.3

将 $5 x = \frac{5 π}{4}$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $5 x = \frac{5 π}{4}$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{4}}{5}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{4}}{5}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{5}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 6.3.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $5 π$ 中分解出因数 $5$ 。

$x = \frac{5 (π)}{4} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 7

求 $\sin (5 x)$ 的周期。

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解题步骤 7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2

使用周期公式中的 $5$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 5 |}$

解题步骤 7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$\frac{2 π}{5}$

解题步骤 8

将 $\frac{2 π}{5}$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{2 π}{5}$ 加到 $- \frac{π}{20}$ 以求正角。

$- \frac{π}{20} + \frac{2 π}{5}$

解题步骤 8.2

要将 $\frac{2 π}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{20}$

解题步骤 8.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $20$ 的形式。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{2 π}{5}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{π}{20}$

解题步骤 8.3.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{20} - \frac{π}{20}$

解题步骤 8.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{20}$

解题步骤 8.5

化简分子。

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解题步骤 8.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 π - π}{20}$

解题步骤 8.5.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{7 π}{20}$

解题步骤 8.6

列出新角。

$x = \frac{7 π}{20}$

解题步骤 9

$\sin (5 x)$ 函数的周期为 $\frac{2 π}{5}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{2 π}{5}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{5}, \frac{7 π}{20} + \frac{2 π n}{5}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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