三角学示例

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 4 \sin (x)$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$2 {(u)}^{2} + 1 = 4 (u)$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $4 u$ 。

$2 u^{2} + 1 - 4 u = 0$

解题步骤 3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4

将 $a = 2$ 、 $b = - 4$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.3

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 5.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9

在 $\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 10

在 $\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 10.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$ 。

$x = 0.29725136$

解题步骤 10.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

解题步骤 10.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 0.29725136$

解题步骤 10.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

解题步骤 10.4.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.29725136$ 。

$x = 2.84434129$

解题步骤 10.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 10.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

列出所有解。

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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