三角学示例

$11 = 5 + 4 \sin (\frac{π}{12}) (x + 10)$

解题步骤 1

将方程重写为 $5 + 4 \sin (\frac{π}{12}) (x + 10) = 11$ 。

$5 + 4 \sin (\frac{π}{12}) (x + 10) = 11$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

$\sin (\frac{π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$5 + 4 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.2

应用角度恒等式的差。

$5 + 4 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.6

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.7

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$5 + 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.7.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.7.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.7.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$5 + 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.1.7.2

在公分母上合并分子。

$5 + 4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

约去公因数。

$5 + 4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.2.2

重写表达式。

$5 + (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (x + 10)$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

运用分配律。

$5 + \sqrt{6} (x + 10) - \sqrt{2} (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.3.2

运用分配律。

$5 + \sqrt{6} x + \sqrt{6} \cdot 10 - \sqrt{2} (x + 10) = 11$

解题步骤 2.1.3.3

运用分配律。

$5 + \sqrt{6} x + \sqrt{6} \cdot 10 - \sqrt{2} x - \sqrt{2} \cdot 10 = 11$

解题步骤 2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $10$ 移到 $\sqrt{6}$ 的左侧。

$5 + \sqrt{6} x + 10 \cdot \sqrt{6} - \sqrt{2} x - \sqrt{2} \cdot 10 = 11$

解题步骤 2.1.4.2

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$5 + \sqrt{6} x + 10 \sqrt{6} - \sqrt{2} x - 10 \sqrt{2} = 11$

解题步骤 3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$\sqrt{6} x + 10 \sqrt{6} - \sqrt{2} x - 10 \sqrt{2} = 11 - 5$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $10 \sqrt{6}$ 。

$\sqrt{6} x - \sqrt{2} x - 10 \sqrt{2} = 11 - 5 - 10 \sqrt{6}$

解题步骤 3.3

在等式两边都加上 $10 \sqrt{2}$ 。

$\sqrt{6} x - \sqrt{2} x = 11 - 5 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

解题步骤 3.4

从 $11$ 中减去 $5$ 。

$\sqrt{6} x - \sqrt{2} x = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

解题步骤 4

从 $\sqrt{6} x - \sqrt{2} x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.1

从 $\sqrt{6} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \sqrt{6} - \sqrt{2} x = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

解题步骤 4.2

从 $- \sqrt{2} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \sqrt{6} + x (- \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

解题步骤 4.3

从 $x \sqrt{6} + x (- \sqrt{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$

解题步骤 5

将 $x (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $x (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ 。

$\frac{x (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{- 10 \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{- 10 \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{6}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{- 10 \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} + \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

在公分母上合并分子。

$x = \frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ 。

$x = \frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

解题步骤 5.3.3

将 $\frac{6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ 。

$x = \frac{(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

解题步骤 5.3.4

使用 FOIL 方法来展开分母。

$x = \frac{(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.3.5

化简。

$x = \frac{(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.6

约去 $6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $(6 - 10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 ((3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{4}$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 ((3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 (2)}$

解题步骤 5.3.6.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 ((3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}))}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.6.2.3

重写表达式。

$x = \frac{(3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{(3 - 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$

小数形式：

$x = - 4.20444504 \dots$

三角学 示例

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