三角学示例

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 0$

解题步骤 2

化简 $\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 重写为 $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - ((\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))) = 0$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - ({\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.2

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

重新排序 $\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.3.3

将 $\cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.4

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)) = 0$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + 2 \cos (x) \sin (x)) = 0$

解题步骤 2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + \sin (x) (2 \cos (x))) = 0$

解题步骤 2.1.6.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.6.3

使用正弦倍角公式。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + \sin (2 x)) = 0$

解题步骤 2.1.7

运用分配律。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - \sin (2 x) = 0$

解题步骤 2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 - \sin (2 x) = 0$

解题步骤 2.2

合并 $\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 - \sin (2 x)$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1

从 $\sin (2 x)$ 中减去 $\sin (2 x)$ 。

$\cos (2 x) + 0 + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.2.2

将 $\cos (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$\cos (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 3

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 = - 1$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 1 + 1$

解题步骤 5

化简左边。

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解题步骤 5.1

将 $- 2 \sin^{2} (x)$ 和 $2 \sin^{2} (x)$ 相加。

$0 = - 1 + 1$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0 = 0$

解题步骤 7

因为 $0 = 0$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

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