三角学示例

$\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$

解题步骤 1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

将 $\cos (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$\tan (x) \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

解题步骤 1.1.1.2

将 $\cos (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

解题步骤 1.1.1.3

约去公因数。

$\sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

解题步骤 1.1.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

解题步骤 2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 3

等式两边同时乘以 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 4

运用分配律。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 5

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 5.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 6

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

约去公因数。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 7

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

约去公因数。

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 9

化简 $\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

移动 $- 1$ 。

$\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

解题步骤 9.2

将 $\sin^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 9.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 9.4

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

解题步骤 9.5

从 $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

解题步骤 9.6

将 $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \sin^{2} (x))$ 。

$- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

解题步骤 9.7

使用勾股恒等式。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 10

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.1

使 $u = \cos (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos (x)$ 。

$- u^{2} + u = 0$

解题步骤 10.1.2

从 $- u^{2} + u$ 中分解出因数 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.2.1

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (- u) + u = 0$

解题步骤 10.1.2.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$u (- u) + u = 0$

解题步骤 10.1.2.3

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

解题步骤 10.1.2.4

从 $u (- u) + u \cdot 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (- u + 1) = 0$

解题步骤 10.1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$

解题步骤 10.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$- \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 10.3

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 10.3.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 10.3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 10.3.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 10.3.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 10.3.2.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 10.3.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 10.3.2.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 10.3.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 10.3.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.3.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 10.3.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.4

将 $- \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.1

将 $- \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 10.4.2

求解 $x$ 的 $- \cos (x) + 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \cos (x) = - 1$

解题步骤 10.4.2.2

将 $- \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.2.2.1

将 $- \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 10.4.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 10.4.2.2.2.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 10.4.2.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 10.4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 10.4.2.4

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.2.4.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 10.4.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 10.4.2.6

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 10.4.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 10.4.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.5

最终解为使 $\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

合并答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11.2

将 $2 π n$ 和 $2 π + 2 π n$ 合并为 $2 π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

排除不能使 $\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$ 成立的解。

$x = 1.57079632, 4.71238898, 6.2831853, 7.85398163, 10.99557428, 12.56637061, 14.13716694, 17.27875959, 18.84955592, 20.42035224, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

三角学示例