三角学示例

$\csc (x) - \cot (2 x) = \tan (x)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sin (x)} - \cot (2 x) = \tan (x)$

解题步骤 1.1.2

将 $\cot (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \tan (x)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3

等式两边同时乘以 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 4

运用分配律。

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$1 + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6

使用乘法的交换性质重写。

$1 - \sin (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7

化简每一项。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.3

使用正弦倍角公式。

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.4

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

约去公因数。

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.4.2

重写表达式。

$1 - \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{2 \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.5

使用余弦倍角公式。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 8

乘以 $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 8.1

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 8.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 8.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

解题步骤 8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 9

从等式两边同时减去 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ 。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 10

化简每一项。

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解题步骤 10.1

分离分数。

$1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 10.2

将 $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 10.3

将 $\cos (2 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$1 - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 10.4

化简。

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解题步骤 10.4.1

用 $\cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 10.4.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \sec (x))) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 10.5

乘以 $\frac{1}{2} (\cos (2 x) \sec (x))$ 。

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解题步骤 10.5.1

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$1 - (\frac{\cos (2 x)}{2} \sec (x)) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 10.5.2

组合 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 和 $\sec (x)$ 。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 10.6

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 10.7

分离分数。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

解题步骤 10.8

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) = 0$

解题步骤 10.9

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

解题步骤 11

化简左边。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 - \frac{\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

解题步骤 11.1.2

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$1 - \frac{\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

解题步骤 11.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 - (\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (x) \tan (x) = 0$

解题步骤 11.1.4

将 $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

解题步骤 11.1.5

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cdot \cos (x)} - \sin (x) \tan (x) = 0$

解题步骤 11.1.6

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 11.1.7

乘以 $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 11.1.7.1

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 11.1.7.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 11.1.7.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 11.1.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 11.1.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 12

等式两边同时乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 13

运用分配律。

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}) + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}) + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 14.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 14.3

使用乘法的交换性质重写。

$\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.1

从 $- \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 15.1.2

从 $2 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 15.1.3

约去公因数。

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 15.1.4

重写表达式。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 15.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1

从 $- \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 15.2.2

约去公因数。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 15.2.3

重写表达式。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 16

将 $\cos (x)$ 乘以 $0$ 。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 17

使用 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 18

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 19

化简左边。

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解题步骤 19.1

化简 $\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x))$ 。

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解题步骤 19.1.1

使用勾股恒等式。

$\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 19.1.2

要将 $\cos (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 19.1.3

化简项。

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解题步骤 19.1.3.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{2} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 19.1.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) \cdot 2 - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 19.1.4

化简分子。

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解题步骤 19.1.4.1

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 19.1.4.2

使用余弦倍角公式。

$\frac{2 \cos (x) - \cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 19.1.4.3

化简每一项。

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解题步骤 19.1.4.3.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$\frac{2 \cos (x) - (2 \cos^{2} (x) - 1)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 19.1.4.3.2

运用分配律。

$\frac{2 \cos (x) - (2 \cos^{2} (x)) - - 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 19.1.4.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - - 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 19.1.4.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 19.1.5

要将 $- \sin^{2} (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} - \sin^{2} (x) \cdot \frac{2}{2} = 0$

解题步骤 19.1.6

化简项。

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解题步骤 19.1.6.1

组合 $- \sin^{2} (x)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} + \frac{- \sin^{2} (x) \cdot 2}{2} = 0$

解题步骤 19.1.6.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1 - \sin^{2} (x) \cdot 2}{2} = 0$

解题步骤 19.1.7

化简分子。

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解题步骤 19.1.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} = 0$

解题步骤 19.1.7.2

移动 $- 2 \sin^{2} (x)$ 。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 1}{2} = 0$

解题步骤 19.1.7.3

从 $- 2 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) + 1}{2} = 0$

解题步骤 19.1.7.4

从 $- 2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x)) - 2 (\sin^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

解题步骤 19.1.7.5

从 $- 2 (\cos^{2} (x)) - 2 (\sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

解题步骤 19.1.7.6

重新整理项。

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

解题步骤 19.1.7.7

使用勾股恒等式。

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cdot 1 + 1}{2} = 0$

解题步骤 19.1.7.8

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \cos (x) - 2 + 1}{2} = 0$

解题步骤 19.1.7.9

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cos (x) - 1}{2} = 0$

解题步骤 20

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 20.1

将分子设为等于零。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 20.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 20.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \cos (x) = 1$

解题步骤 20.2.2

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 20.2.2.1

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 20.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 20.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 20.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 20.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 20.2.4

化简右边。

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解题步骤 20.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 20.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 20.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 20.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 20.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 20.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 20.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 20.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 20.2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 20.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 20.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 20.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 20.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 20.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 20.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 20.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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