三角学示例

$\csc (x) - 1 = \frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1}$

解题步骤 1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1} + 1 = \csc (x)$

解题步骤 2

使用基于 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式的 $\csc^{2} (x) - 1$ 替换 $\cot^{2} (x)$ 。

$(\csc^{2} (x) - 1) + 1 = \csc (x)$

解题步骤 3

合并 $\csc^{2} (x) - 1 + 1$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\csc^{2} (x) + 0 = \csc (x)$

解题步骤 3.2

将 $\csc^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$\csc^{2} (x) = \csc (x)$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $\csc (x)$ 。

${(u)}^{2} = u$

解题步骤 5

从等式两边同时减去 $u$ 。

$u^{2} - u = 0$

解题步骤 6

从 $u^{2} - u$ 中分解出因数 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u - u = 0$

解题步骤 6.2

从 $- u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

解题步骤 6.3

从 $u \cdot u + u \cdot - 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (u - 1) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 8

将 $u$ 设为等于 $0$ 。

$u = 0$

解题步骤 9

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 9.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 10

最终解为使 $u (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 0, 1$

解题步骤 11

代入 $\csc (x)$ 替换 $u$ 。

$\csc (x) = 0, 1$

解题步骤 12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\csc (x) = 0$

$\csc (x) = 1$

解题步骤 13

在 $\csc (x) = 0$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

余割函数值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。由于 $0$ 不在该范围内，所以无解。

无解

解题步骤 14

在 $\csc (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (1)$

解题步骤 14.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

$arccsc (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 14.3

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 14.4

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 14.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 14.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 14.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.4.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 14.4.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 14.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 14.6

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

列出所有解。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

三角学示例