三角学示例

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

解题步骤 1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $\cot (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

解题步骤 2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

化简 $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)}$

解题步骤 2.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cot (x)$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

解题步骤 2.1.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.3.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

解题步骤 2.1.1.3.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \cot (x)}$

解题步骤 2.1.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 2.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1

运用分配律。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.5.2

运用分配律。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.5.3

运用分配律。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.6.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.6.1.1

乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.6.1.1.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.1.6

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.1.7

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.1.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.1.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.2

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.3

将 $- 1$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1 \cdot \cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.5

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.2

将 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 相加。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 0 - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.6.3

将 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.7

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.7.1

运用分配律。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.7.2

合并。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.7.3

将 $- 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ 重写为 $- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.8

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.8.1

约去 $\cos^{2} (x)$ 和 $\cos (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.8.1.1

从 $\cos^{2} (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.8.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.8.1.2.1

从 $\sin^{2} (x) (2 \cos (x))$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.8.1.2.2

约去公因数。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.8.1.2.3

重写表达式。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.8.2

约去 $\sin (x)$ 和 $\sin^{2} (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.8.2.1

从 $\cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.8.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.8.2.2.1

从 $\sin^{2} (x) \cdot (2)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.8.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.8.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cdot 2} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 2.1.8.3

将 $2$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 3

等式两边同时乘以 $\sin (2 x)$ 。

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

解题步骤 4

约去 $\sin (2 x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

约去公因数。

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$\cos (2 x) = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

解题步骤 5

运用分配律。

$\cos (2 x) = \sin (2 x) \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

解题步骤 6

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ 。

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

解题步骤 7

使用乘法的交换性质重写。

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

使用正弦倍角公式。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.1.2

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.2.2

重写表达式。

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.3

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

约去公因数。

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.3.2

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \sin (2 x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.5.1

使用正弦倍角公式。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.5.2

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.5.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.5.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.5.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.6

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.6.1

约去公因数。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

解题步骤 8.6.2

重写表达式。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 8.7

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.7.1

约去公因数。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 8.7.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 9

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 x) = \cos (2 x)$

解题步骤 10

将所有包含 $\cos (2 x)$ 的项移到等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

从等式两边同时减去 $\cos (2 x)$ 。

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 10.2

从 $\cos (2 x)$ 中减去 $\cos (2 x)$ 。

$0 = 0$

解题步骤 11

因为 $0 = 0$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

三角学 示例

三角学示例