三角学示例

$y = \frac{1}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{1}{1 - \sin (y)}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ 。

$\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1 - \sin (y), 1$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$1 - \sin (y), 1$

解题步骤 2.2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$1 - \sin (y)$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ 中的每一项乘以 $1 - \sin (y)$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ 中的每一项乘以 $1 - \sin (y)$ 。

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $1 - \sin (y)$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

解题步骤 2.3.2.1.2

重写表达式。

$1 = x (1 - \sin (y))$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

运用分配律。

$1 = x \cdot 1 + x (- \sin (y))$

解题步骤 2.3.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 = x + x (- \sin (y))$

解题步骤 2.3.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$1 = x - x \sin (y)$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

将方程重写为 $x - x \sin (y) = 1$ 。

$x - x \sin (y) = 1$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- x \sin (y) = 1 - x$

解题步骤 2.4.3

将 $- x \sin (y) = 1 - x$ 中的每一项除以 $- x$ 并化简。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $- x \sin (y) = 1 - x$ 中的每一项都除以 $- x$ 。

$\frac{- x \sin (y)}{- x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

解题步骤 2.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

解题步骤 2.4.3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

解题步骤 2.4.3.2.2.2

用 $\sin (y)$ 除以 $1$ 。

$\sin (y) = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

解题步骤 2.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.3.1.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.3.1.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\sin (y) = \frac{- 1 (- 1)}{- x} + \frac{- x}{- x}$

解题步骤 2.4.3.3.1.1.2

将负号移到分数的前面。

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{- x}{- x}$

解题步骤 2.4.3.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

解题步骤 2.4.3.3.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.3.1.3.1

约去公因数。

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

解题步骤 2.4.3.3.1.3.2

重写表达式。

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + 1$

解题步骤 2.5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$y = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- \frac{1}{\frac{1}{1 - \sin (x)}} + 1)$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 (1 - \sin (x))) + 1)$

解题步骤 4.2.3.2

将 $1 - \sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 - \sin (x)) + 1)$

解题步骤 4.2.3.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 \cdot 1 + \sin (x) + 1)$

解题步骤 4.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

解题步骤 4.2.3.5

乘以 $- - \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.2.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + 1 \sin (x) + 1)$

解题步骤 4.2.3.5.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

解题步骤 4.2.4

合并 $- 1 + \sin (x) + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (0 + \sin (x))$

解题步骤 4.2.4.2

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (\sin (x))$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))$ 。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - \sin (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))}$

解题步骤 4.3.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.3.1

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{x} + 1)}$

解题步骤 4.3.3.2

运用分配律。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.3.3

乘以 $- - \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 4.3.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{x}) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.3.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1}$

解题步骤 4.3.3.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

解题步骤 4.3.3.6

将 $\frac{1}{x}$ 和 $0$ 相加。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 4.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = 1 x$

解题步骤 4.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ 为 $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

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