三角学示例

$x = y^{2} - 8 y$

解题步骤 1

将方程重写为 $y^{2} - 8 y = x$ 。

$y^{2} - 8 y = x$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$y^{2} - 8 y - x = 0$

解题步骤 3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4

将 $a = 1$ 、 $b = - 8$ 和 $c = - x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3

从 $64 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.2

从 $4 \cdot 16 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4

将 $4 (16 + x)$ 重写为 $2^{2} (4^{2} + x)$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.5

从根式下提出各项。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.6

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

解题步骤 5.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ 。

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

解题步骤 6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3

从 $64 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3.2

从 $4 \cdot 16 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.4

将 $4 (16 + x)$ 重写为 $2^{2} (4^{2} + x)$ 。

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解题步骤 6.1.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.5

从根式下提出各项。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.6

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

解题步骤 6.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ 。

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

解题步骤 6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

解题步骤 7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3

从 $64 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3.2

从 $4 \cdot 16 + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.4

将 $4 (16 + x)$ 重写为 $2^{2} (4^{2} + x)$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.5

从根式下提出各项。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.6

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ 。

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

解题步骤 7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

解题步骤 9

交换变量。为每个表达式创建一个方程。

$x = 4 + \sqrt{16 + y}, x = 4 - \sqrt{16 + y}$

解题步骤 10

求解 $y$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $4 + \sqrt{16 + y} = x$ 。

$4 + \sqrt{16 + y} = x$

解题步骤 10.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$\sqrt{16 + y} = x - 4$

解题步骤 10.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{16 + y}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 10.4

化简方程的两边。

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解题步骤 10.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{16 + y}$ 重写成 ${(16 + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 10.4.2

化简左边。

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解题步骤 10.4.2.1

化简 ${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 10.4.2.1.1

将 ${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(16 + y)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.2

化简。

$16 + y = {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 10.4.3

化简右边。

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解题步骤 10.4.3.1

化简 ${(x - 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 10.4.3.1.1

将 ${(x - 4)}^{2}$ 重写为 $(x - 4) (x - 4)$ 。

$16 + y = (x - 4) (x - 4)$

解题步骤 10.4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 10.4.3.1.2.1

运用分配律。

$16 + y = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

解题步骤 10.4.3.1.2.2

运用分配律。

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

解题步骤 10.4.3.1.2.3

运用分配律。

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

解题步骤 10.4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$16 + y = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

解题步骤 10.4.3.1.3.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$16 + y = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

解题步骤 10.4.3.1.3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$16 + y = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

解题步骤 10.4.3.1.3.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$16 + y = x^{2} - 8 x + 16$

解题步骤 10.5

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.5.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$y = x^{2} - 8 x + 16 - 16$

解题步骤 10.5.2

合并 $x^{2} - 8 x + 16 - 16$ 中相反的项。

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解题步骤 10.5.2.1

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$y = x^{2} - 8 x + 0$

解题步骤 10.5.2.2

将 $x^{2} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$y = x^{2} - 8 x$

解题步骤 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

解题步骤 12

验证 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ 是否为 $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ 的反函数。

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解题步骤 12.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ 和 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 12.2

求 $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ 的值域。

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解题步骤 12.2.1

求 $4 + \sqrt{16 + x}$ 的值域。

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解题步骤 12.2.1.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[4, \infty)$

解题步骤 12.2.2

求 $4 - \sqrt{16 + x}$ 的值域。

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解题步骤 12.2.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, 4]$

解题步骤 12.2.3

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解题步骤 12.2.3.1

并集由包含在每一区间的所有元素组成。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 12.3

求 $4 + \sqrt{16 + x}$ 的定义域。

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解题步骤 12.3.1

将 $\sqrt{16 + x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$16 + x \geq 0$

解题步骤 12.3.2

从不等式两边同时减去 $16$ 。

$x \geq - 16$

解题步骤 12.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 16, \infty)$

解题步骤 12.4

由于 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ 的定义域为 $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ 的值域又为 $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ 为 $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

解题步骤 13

三角学 示例

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