三角学示例

$f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ 写为等式。

$y = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$ 。

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$

解题步骤 3.2

两边同时乘以 $20 e^{y} + 15$ 。

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

约去 $20 e^{y} + 15$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

解题步骤 3.3.1.1.2

重写表达式。

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y} + 15)$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 $x (20 e^{y} + 15)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

运用分配律。

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y}) + x \cdot 15$

解题步骤 3.3.2.1.2

重新排序。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + x \cdot 15$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

将 $15$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + 15 x$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $20 x e^{y}$ 。

$3 e^{y} - 8 - 20 x e^{y} = 15 x$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$3 e^{y} - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

解题步骤 3.4.3

从 $3 e^{y} - 20 x e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $3 e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$e^{y} \cdot 3 - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- 20 x e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x) = 15 x + 8$

解题步骤 3.4.3.3

从 $e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x)$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$

解题步骤 3.4.4

将 $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ 中的每一项除以 $3 - 20 x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ 中的每一项都除以 $3 - 20 x$ 。

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $3 - 20 x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $e^{y}$ 除以 $1$ 。

$e^{y} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

在公分母上合并分子。

$e^{y} = \frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$

解题步骤 3.4.5

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

解题步骤 3.4.6

展开左边。

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解题步骤 3.4.6.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

解题步骤 3.4.6.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

解题步骤 3.4.6.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ 是否为 $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15})$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

解题步骤 5.2.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $20 e^{x} + 15$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $20 e^{x}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

解题步骤 5.2.3.1.2

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

解题步骤 5.2.3.1.3

从 $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

解题步骤 5.2.3.2

从 $20 e^{x} + 15$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $20 e^{x}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}})$

解题步骤 5.2.3.2.2

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}})$

解题步骤 5.2.3.2.3

从 $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 (3) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.1.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 \cdot (3 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.1.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{3 (\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.2

组合 $3$ 和 $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.3

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + \frac{8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8) + 8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.5

重新排序项。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.6

以因式分解的形式重写 $\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ 。

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解题步骤 5.2.4.6.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x}) + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.6.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.6.3

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.6.4

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x}) + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.6.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.6.6

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.6.7

将 $32 e^{x}$ 和 $9 e^{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 24 - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.6.8

从 $24$ 中减去 $24$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 0}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.4.6.9

将 $41 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

解题步骤 5.2.5

化简分母。

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解题步骤 5.2.5.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1.1

从 $- 20$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 (- 4) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

解题步骤 5.2.5.1.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 \cdot (- 4 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

解题步骤 5.2.5.1.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 4 \frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + \frac{- 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.4

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3} - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.5

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.6

以因式分解的形式重写 $\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ 。

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解题步骤 5.2.5.6.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x}) + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.6.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.6.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.6.4

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x}) - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.6.5

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.6.6

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} + 32}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.6.7

从 $12 e^{x}$ 中减去 $12 e^{x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{0 + 9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.6.8

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.5.6.9

将 $9$ 和 $32$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{41}{4 e^{x} + 3}})$

解题步骤 5.2.6

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

解题步骤 5.2.7

约去 $41$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1

从 $41 e^{x}$ 中分解出因数 $41$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 (e^{x})}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

解题步骤 5.2.7.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

解题步骤 5.2.7.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

解题步骤 5.2.8

约去 $4 e^{x} + 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

解题步骤 5.2.8.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (e^{x})$

解题步骤 5.2.9

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \ln (e)$

解题步骤 5.2.10

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \cdot 1$

解题步骤 5.2.11

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}))$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.3

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8 \cdot \frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.4

组合 $- 8$ 和 $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{- 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.5

在公分母上合并分子。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.6

重新排序项。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.7

以因式分解的形式重写 $\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ 。

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解题步骤 5.3.3.7.1

运用分配律。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x) + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.7.2

将 $15$ 乘以 $3$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.7.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.7.4

运用分配律。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 \cdot 3 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.7.5

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.7.6

将 $- 20$ 乘以 $- 8$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 + 160 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.7.7

将 $45 x$ 和 $160 x$ 相加。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 24 - 24}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.7.8

从 $24$ 中减去 $24$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 0}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.3.7.9

将 $205 x$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.1

从 $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 15}$

解题步骤 5.3.4.1.2

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)}$

解题步骤 5.3.4.1.3

从 $5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 3)}$

解题步骤 5.3.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) + 3)}$

解题步骤 5.3.4.3

组合 $4$ 和 $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + 3)}$

解题步骤 5.3.4.4

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

解题步骤 5.3.4.5

在公分母上合并分子。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

解题步骤 5.3.4.6

重新排序项。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

解题步骤 5.3.4.7

以因式分解的形式重写 $\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ 。

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解题步骤 5.3.4.7.1

运用分配律。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x) + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

解题步骤 5.3.4.7.2

将 $15$ 乘以 $4$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

解题步骤 5.3.4.7.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

解题步骤 5.3.4.7.4

运用分配律。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 \cdot 3 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

解题步骤 5.3.4.7.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

解题步骤 5.3.4.7.6

将 $- 20$ 乘以 $3$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 - 60 x}{- 20 x + 3})}$

解题步骤 5.3.4.7.7

从 $60 x$ 中减去 $60 x$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{0 + 32 + 9}{- 20 x + 3})}$

解题步骤 5.3.4.7.8

将 $0$ 和 $32$ 相加。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{32 + 9}{- 20 x + 3})}$

解题步骤 5.3.4.7.9

将 $32$ 和 $9$ 相加。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{41}{- 20 x + 3})}$

解题步骤 5.3.5

合并分数。

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解题步骤 5.3.5.1

组合 $5$ 和 $\frac{41}{- 20 x + 3}$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{5 \cdot 41}{- 20 x + 3}}$

解题步骤 5.3.5.2

将 $5$ 乘以 $41$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{205}{- 20 x + 3}}$

解题步骤 5.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

解题步骤 5.3.7

约去 $205$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

从 $205 x$ 中分解出因数 $205$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 (x)}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

解题步骤 5.3.7.2

约去公因数。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

解题步骤 5.3.7.3

重写表达式。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x}{- 20 x + 3} \cdot (- 20 x + 3)$

解题步骤 5.3.8

将 $\frac{x}{- 20 x + 3}$ 乘以 $- 20 x + 3$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

解题步骤 5.3.9

约去 $- 20 x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.9.1

约去公因数。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

解题步骤 5.3.9.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ 为 $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

三角学 示例

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