三角学示例

$\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\csc (x) = 0$

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2

将 $\csc (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\csc (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\csc (x) = 0$

解题步骤 2.2

余割函数值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。由于 $0$ 不在该范围内，所以无解。

无解

解题步骤 3

将 $3 \cot^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 \cot^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 \cot^{2} (x) = 1$

解题步骤 3.2.2

将 $3 \cot^{2} (x) = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $3 \cot^{2} (x) = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $\cot^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.2.4.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 3.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 3.2.4.4.6.5

计算指数。

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.2.7

在 $\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.7.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 3.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.7.2.1

$arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 3.2.7.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{3}$

解题步骤 3.2.7.4

化简 $π + \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 3.2.7.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 3.2.7.4.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.7.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 3.2.7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

解题步骤 3.2.7.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.7.4.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

解题步骤 3.2.7.4.3.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 3.2.7.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.7.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.7.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2.8

在 $\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.8.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 3.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.8.2.1

$arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 3.2.8.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

解题步骤 3.2.8.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 3.2.8.4.1

将 $2 π$ 加上 $\frac{2 π}{3} - π$ 。

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

解题步骤 3.2.8.4.2

得出的角 $\frac{5 π}{3}$ 是正角度且与 $\frac{2 π}{3} - π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 3.2.8.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.8.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.8.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2.9

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2.10

合并解集。

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解题步骤 3.2.10.1

将 $\frac{π}{3} + π n$ 和 $\frac{4 π}{3} + π n$ 合并为 $\frac{π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2.10.2

将 $\frac{2 π}{3} + π n$ 和 $\frac{5 π}{3} + π n$ 合并为 $\frac{2 π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

最终解为使 $\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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