三角学示例

$\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$

解题步骤 1

如果 $a = b$ ，那么 $\cos (a) = \cos (b)$ 。

$\cos (\arccos (x) + \arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2

展开左边。

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解题步骤 2.1

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$x \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.2

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$x (2 x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$2 x \cdot x - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.5

在平面中画出顶点为 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$2 x^{2} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 x^{2} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.8

在平面中画出顶点为 $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ 、 $(2 x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (2 x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (2 x))$ 为 $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ 。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.9

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.10

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = 2 x$ 。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.2.12

使用根数乘积法则进行合并。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 3

展开右边。

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解题步骤 3.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.1

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

解题步骤 5

排除不能使 $\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$ 成立的解。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{1}{2}$

小数形式：

$x = 0.5$

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