三角学示例

$8 \sin (x) \cos (x) = \sin (4 x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sin (4 x)$ 。

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (4 x) = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 (2 x)) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用正弦倍角公式。

$8 \sin (x) \cos (x) - (2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

解题步骤 2.1.4

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 0$

解题步骤 2.1.5

运用分配律。

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

解题步骤 2.1.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

解题步骤 2.1.7

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.7.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

解题步骤 2.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2) = 0$

解题步骤 2.1.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

解题步骤 2.1.8

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.9

运用分配律。

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.10

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.11

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) + 8 (\sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.1.12

去掉圆括号。

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

从 $8 \sin (x) \cos (x)$ 中减去 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 3

从 $4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $4 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 3.2

从 $8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.3

从 $4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 5

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 5.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 5.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 6.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 6.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $1 + 2 \sin^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $1 + 2 \sin^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \sin^{2} (x) = - 1$

解题步骤 7.2.2

将 $2 \sin^{2} (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $2 \sin^{2} (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 重写为 $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 7.2.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2.4.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.4.2

从根式下提出各项。

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.4.3

一的任意次幂都为一。

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2.4.4

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.6

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 7.2.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 7.2.4.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.7.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.7.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 7.2.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.2.4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 7.2.4.7.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.2.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.2.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.2.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.2.4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.7.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.2.4.7.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 7.2.4.7.6.5

计算指数。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.4.8

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.7

在 $\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.2.7.2

$\arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 7.2.8

在 $\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.2.8.2

$\arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 7.2.9

列出所有解。

无解

解题步骤 8

最终解为使 $4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$x = \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

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