三角学示例

$\sec (x) (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简 $\sec (x) (\sec (x) - \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\cos (x)} (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.3

运用分配律。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.4

乘以 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.5

化简项。

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解题步骤 1.1.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.5.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.2.1

将 $- \frac{1}{\cos (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.5.3

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.5.3.2

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.5.3.3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sec^{2} (x) - 1 = \tan^{2} (x)$

解题步骤 1.1.6

使用勾股恒等式。

$\tan^{2} (x) = \tan^{2} (x)$

解题步骤 2

因为指数相等，所以方程两边指数的底必须相等。

$| \tan (x) | = | \tan (x) |$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将绝对值方程重写成不带绝对值符号的四个方程。

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

$- \tan (x) = \tan (x)$

$- \tan (x) = - \tan (x)$

解题步骤 3.2

化简后，只需求解两个有唯一解的方程。

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的 $\tan (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 3.3.1

为了使两个函数相等，这两个函数的自变量必须相等。

$x = x$

解题步骤 3.3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x - x = 0$

解题步骤 3.3.2.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$0 = 0$

解题步骤 3.3.3

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

所有实数

解题步骤 3.4

求解 $x$ 的 $\tan (x) = - \tan (x)$ 。

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解题步骤 3.4.1

将所有包含 $\tan (x)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.4.1.1

在等式两边都加上 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) + \tan (x) = 0$

解题步骤 3.4.1.2

将 $\tan (x)$ 和 $\tan (x)$ 相加。

$2 \tan (x) = 0$

解题步骤 3.4.2

将 $2 \tan (x) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $2 \tan (x) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 3.4.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 3.4.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.4.5

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 3.4.6

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 3.4.7

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.4.7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.4.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.4.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.4.7.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.4.8

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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