三角学示例

$f (x) = 3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$

解题步骤 1

从 $3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x) = 3 (x^{3}) - 33 x^{2} + 60 x + 96$

解题步骤 1.2

从 $- 33 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 60 x + 96$

解题步骤 1.3

从 $60 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 96$

解题步骤 1.4

从 $96$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x) = 3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

解题步骤 1.5

从 $3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

解题步骤 1.6

从 $3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$

解题步骤 1.7

从 $3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32)$

解题步骤 2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ 。

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解题步骤 2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

解题步骤 2.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

解题步骤 2.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

解题步骤 2.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 - 11 \cdot 1 + 20 \cdot - 1 + 32$

解题步骤 2.3.4

将 $- 11$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - 11 + 20 \cdot - 1 + 32$

解题步骤 2.3.5

从 $- 1$ 中减去 $11$ 。

$- 12 + 20 \cdot - 1 + 32$

解题步骤 2.3.6

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$- 12 - 20 + 32$

解题步骤 2.3.7

从 $- 12$ 中减去 $20$ 。

$- 32 + 32$

解题步骤 2.3.8

将 $- 32$ 和 $32$ 相加。

$0$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32}{x + 1}$

解题步骤 2.5

用 $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$32$

解题步骤 2.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$

解题步骤 2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

解题步骤 2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

解题步骤 2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 12 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

解题步骤 2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$12 x$

解题步骤 2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 12 x^{2} - 12 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$

解题步骤 2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$

解题步骤 2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

解题步骤 2.5.12

将被除数中的最高阶项 $32 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

解题步骤 2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							+	$32 x$	+	$32$

解题步骤 2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $32 x + 32$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$

解题步骤 2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$
										$0$

解题步骤 2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 12 x + 32$

解题步骤 2.6

将 $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ 书写为因数的集合。

$f (x) = 3 ((x + 1) (x^{2} - 12 x + 32))$

解题步骤 3

因数。

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解题步骤 3.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 12 x + 32$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 12 x + 32$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $32$ ，和为 $- 12$ 。

$- 8, - 4$

解题步骤 3.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = 3 ((x + 1) ((x - 8) (x - 4)))$

解题步骤 3.1.2

去掉多余的括号。

$f (x) = 3 ((x + 1) (x - 8) (x - 4))$

解题步骤 3.2

去掉多余的括号。

$f (x) = 3 (x + 1) (x - 8) (x - 4)$

三角学 示例

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