三角学示例

$f (x) = 2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 60, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 1.5, \pm 20, \pm 10, \pm 4, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 12, \pm 6$

解题步骤 1.3

代入 $- 1.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1.5$ 代入多项式。

$2 {(- 1.5)}^{4} - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

解题步骤 1.3.2

对 $- 1.5$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 \cdot 5.0625 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $5.0625$ 。

$10.125 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

解题步骤 1.3.4

对 $- 1.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$10.125 - 19 \cdot - 3.375 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

解题步骤 1.3.5

将 $- 19$ 乘以 $- 3.375$ 。

$10.125 + 64.125 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

解题步骤 1.3.6

将 $10.125$ 和 $64.125$ 相加。

$74.25 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

解题步骤 1.3.7

对 $- 1.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$74.25 + 33 \cdot 2.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

解题步骤 1.3.8

将 $33$ 乘以 $2.25$ 。

$74.25 + 74.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

解题步骤 1.3.9

将 $74.25$ 和 $74.25$ 相加。

$148.5 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

解题步骤 1.3.10

将 $59$ 乘以 $- 1.5$ 。

$148.5 - 88.5 - 60$

解题步骤 1.3.11

从 $148.5$ 中减去 $88.5$ 。

$60 - 60$

解题步骤 1.3.12

从 $60$ 中减去 $60$ 。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $- 1.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60}{2 x + 3}$

解题步骤 1.5

用 $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ 除以 $2 x + 3$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{4} + 3 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 22 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 22 x^{3} - 33 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $66 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $66 x^{2} + 99 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

解题步骤 1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

解题步骤 1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 40 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

解题步骤 1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

解题步骤 1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 40 x - 60$ 中的所有符号

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

解题步骤 1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

$0$

解题步骤 1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$

解题步骤 1.6

将 $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ 书写为因数的集合。

$f (x) = (2 x + 3) (x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20)$

解题步骤 2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ 。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

解题步骤 2.1.3

代入 $4$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $4$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $4$ 代入多项式。

$4^{3} - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

解题步骤 2.1.3.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

解题步骤 2.1.3.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 - 11 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 20$

解题步骤 2.1.3.4

将 $- 11$ 乘以 $16$ 。

$64 - 176 + 33 \cdot 4 - 20$

解题步骤 2.1.3.5

从 $64$ 中减去 $176$ 。

$- 112 + 33 \cdot 4 - 20$

解题步骤 2.1.3.6

将 $33$ 乘以 $4$ 。

$- 112 + 132 - 20$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 112$ 和 $132$ 相加。

$20 - 20$

解题步骤 2.1.3.8

从 $20$ 中减去 $20$ 。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $4$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 4$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20}{x - 4}$

解题步骤 2.1.5

用 $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ 除以 $x - 4$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$4$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 7 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$28 x$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 7 x^{2} + 28 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $5 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x - 20$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 7 x + 5$

解题步骤 2.1.6

将 $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ 书写为因数的集合。

$f (x) = (2 x + 3) ((x - 4) (x^{2} - 7 x + 5))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$f (x) = (2 x + 3) (x - 4) (x^{2} - 7 x + 5)$

三角学 示例

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