三角学示例

$g (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

解题步骤 3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

$3 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 + 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 3.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 3 + 2 \cdot 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 3 + 2 - 7 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 3.6

将 $- 3$ 和 $2$ 相加。

$- 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 3.7

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 + 7 - 6$

解题步骤 3.8

将 $- 1$ 和 $7$ 相加。

$6 - 6$

解题步骤 3.9

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$0$

解题步骤 4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6}{x + 1}$

解题步骤 5

用 $3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x$

$6$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{3} + 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - x$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

解题步骤 5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

解题步骤 5.12

将被除数中的最高阶项 $- 6 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

解题步骤 5.13

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

解题步骤 5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x - 6$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

解题步骤 5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

解题步骤 5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$3 x^{2} - x - 6$

解题步骤 6

将 $3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6$ 书写为因数的集合。

$g (x) = (x + 1) (3 x^{2} - x - 6)$

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