三角学示例

$y = \frac{2}{5} \cdot {(x - 4)}^{2} - 3$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = \frac{2}{5}$

$h = 4$

$k = - 3$

解题步骤 1.2

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 1.3

求顶点 $(h, k)$ 。

$(4, - 3)$

解题步骤 1.4

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.4.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.4.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{2}{5}}$

解题步骤 1.4.3

化简。

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解题步骤 1.4.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{5}}$

解题步骤 1.4.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{8}{5}}$

解题步骤 1.4.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 (\frac{5}{8})$

解题步骤 1.4.3.4

将 $\frac{5}{8}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{8}$

解题步骤 1.5

求焦点。

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解题步骤 1.5.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.5.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, - \frac{19}{8})$

解题步骤 1.6

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 4$

解题步骤 1.7

求准线。

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解题步骤 1.7.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.7.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{29}{8}$

解题步骤 1.8

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(4, - 3)$

焦点： $(4, - \frac{19}{8})$

对称轴： $x = 4$

准线： $y = - \frac{29}{8}$

方向：开口向上

顶点： $(4, - 3)$

焦点： $(4, - \frac{19}{8})$

对称轴： $x = 4$

准线： $y = - \frac{29}{8}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2}}{5} - \frac{16 (3)}{5} + \frac{17}{5}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

解题步骤 2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = \frac{2 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = \frac{18 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

解题步骤 2.2.2.3

将 $- 16$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = \frac{18 - 48 + 17}{5}$

解题步骤 2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $18$ 中减去 $48$ 。

$f (3) = \frac{- 30 + 17}{5}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $- 30$ 和 $17$ 相加。

$f (3) = \frac{- 13}{5}$

解题步骤 2.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$f (3) = - \frac{13}{5}$

解题步骤 2.2.4

最终答案为 $- \frac{13}{5}$ 。

$- \frac{13}{5}$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $- \frac{13}{5}$ 。

$y = - \frac{13}{5}$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2}}{5} - \frac{16 (2)}{5} + \frac{17}{5}$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

在公分母上合并分子。

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

解题步骤 2.5.2

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 ${(2)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.1

将 $2$ 乘以 ${(2)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

解题步骤 2.5.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (2) = \frac{2^{1 + 2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (2) = \frac{2^{3} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

解题步骤 2.5.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = \frac{8 - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

解题步骤 2.5.2.3

将 $- 16$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \frac{8 - 32 + 17}{5}$

解题步骤 2.5.3

化简表达式。

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解题步骤 2.5.3.1

从 $8$ 中减去 $32$ 。

$f (2) = \frac{- 24 + 17}{5}$

解题步骤 2.5.3.2

将 $- 24$ 和 $17$ 相加。

$f (2) = \frac{- 7}{5}$

解题步骤 2.5.3.3

将负号移到分数的前面。

$f (2) = - \frac{7}{5}$

解题步骤 2.5.4

最终答案为 $- \frac{7}{5}$ 。

$- \frac{7}{5}$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $- \frac{7}{5}$ 。

$y = - \frac{7}{5}$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2}}{5} - \frac{16 (5)}{5} + \frac{17}{5}$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

在公分母上合并分子。

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2} - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

解题步骤 2.8.2

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = \frac{2 \cdot 25 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

解题步骤 2.8.2.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$f (5) = \frac{50 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

解题步骤 2.8.2.3

将 $- 16$ 乘以 $5$ 。

$f (5) = \frac{50 - 80 + 17}{5}$

解题步骤 2.8.3

化简表达式。

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解题步骤 2.8.3.1

从 $50$ 中减去 $80$ 。

$f (5) = \frac{- 30 + 17}{5}$

解题步骤 2.8.3.2

将 $- 30$ 和 $17$ 相加。

$f (5) = \frac{- 13}{5}$

解题步骤 2.8.3.3

将负号移到分数的前面。

$f (5) = - \frac{13}{5}$

解题步骤 2.8.4

最终答案为 $- \frac{13}{5}$ 。

$- \frac{13}{5}$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 5$ 处的值为 $- \frac{13}{5}$ 。

$y = - \frac{13}{5}$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2}}{5} - \frac{16 (6)}{5} + \frac{17}{5}$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

在公分母上合并分子。

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

解题步骤 2.11.2

化简每一项。

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解题步骤 2.11.2.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (6) = \frac{2 \cdot 36 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

解题步骤 2.11.2.2

将 $2$ 乘以 $36$ 。

$f (6) = \frac{72 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

解题步骤 2.11.2.3

将 $- 16$ 乘以 $6$ 。

$f (6) = \frac{72 - 96 + 17}{5}$

解题步骤 2.11.3

化简表达式。

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解题步骤 2.11.3.1

从 $72$ 中减去 $96$ 。

$f (6) = \frac{- 24 + 17}{5}$

解题步骤 2.11.3.2

将 $- 24$ 和 $17$ 相加。

$f (6) = \frac{- 7}{5}$

解题步骤 2.11.3.3

将负号移到分数的前面。

$f (6) = - \frac{7}{5}$

解题步骤 2.11.4

最终答案为 $- \frac{7}{5}$ 。

$- \frac{7}{5}$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = 6$ 处的值为 $- \frac{7}{5}$ 。

$y = - \frac{7}{5}$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(4, - 3)$

焦点： $(4, - \frac{19}{8})$

对称轴： $x = 4$

准线： $y = - \frac{29}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

解题步骤 4

三角学 示例

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