三角学示例

$y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意 $y = \sec (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = \frac{π}{2} + n π$ 处，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = s e c (x)$ 、 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 的基本周期求 $y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ 的垂直渐近线。将 $y = a \sec (b x + c) + d$ 的正割函数的变量 $b x + c$ 设为等于 $- \frac{π}{2}$ ，以求 $y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ 的垂直渐近线出现的位置。

$5 x + \frac{5 π}{7} = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{5 π}{7}$ 。

$5 x = - \frac{π}{2} - \frac{5 π}{7}$

解题步骤 1.2.1.2

要将 $- \frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$5 x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7}$

解题步骤 1.2.1.3

要将 $- \frac{5 π}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.2.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $14$ 的形式。

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解题步骤 1.2.1.4.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{2 \cdot 7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.2.1.4.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{14} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.2.1.4.3

将 $\frac{5 π}{7}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{7 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.1.4.4

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$5 x = - \frac{π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{14}$

解题步骤 1.2.1.5

在公分母上合并分子。

$5 x = \frac{- π \cdot 7 - 5 π \cdot 2}{14}$

解题步骤 1.2.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.1.6.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$5 x = \frac{- 7 π - 5 π \cdot 2}{14}$

解题步骤 1.2.1.6.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$5 x = \frac{- 7 π - 10 π}{14}$

解题步骤 1.2.1.6.3

从 $- 7 π$ 中减去 $10 π$ 。

$5 x = \frac{- 17 π}{14}$

解题步骤 1.2.1.7

将负号移到分数的前面。

$5 x = - \frac{17 π}{14}$

解题步骤 1.2.2

将 $5 x = - \frac{17 π}{14}$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $5 x = - \frac{17 π}{14}$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{17 π}{14}}{5}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{17 π}{14}}{5}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{17 π}{14}}{5}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{17 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 1.2.2.3.2

乘以 $- \frac{17 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 1.2.2.3.2.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{17 π}{14}$ 。

$x = - \frac{17 π}{5 \cdot 14}$

解题步骤 1.2.2.3.2.2

将 $5$ 乘以 $14$ 。

$x = - \frac{17 π}{70}$

解题步骤 1.3

将正割函数 $5 x + \frac{5 π}{7}$ 的变量设为 $\frac{3 π}{2}$ 。

$5 x + \frac{5 π}{7} = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.4.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{5 π}{7}$ 。

$5 x = \frac{3 π}{2} - \frac{5 π}{7}$

解题步骤 1.4.1.2

要将 $\frac{3 π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$5 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7}$

解题步骤 1.4.1.3

要将 $- \frac{5 π}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.4.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $14$ 的形式。

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解题步骤 1.4.1.4.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{2 \cdot 7} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.4.1.4.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{14} - \frac{5 π}{7} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 1.4.1.4.3

将 $\frac{5 π}{7}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{7 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.1.4.4

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$5 x = \frac{3 π \cdot 7}{14} - \frac{5 π \cdot 2}{14}$

解题步骤 1.4.1.5

在公分母上合并分子。

$5 x = \frac{3 π \cdot 7 - 5 π \cdot 2}{14}$

解题步骤 1.4.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.6.1

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$5 x = \frac{21 π - 5 π \cdot 2}{14}$

解题步骤 1.4.1.6.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$5 x = \frac{21 π - 10 π}{14}$

解题步骤 1.4.1.6.3

从 $21 π$ 中减去 $10 π$ 。

$5 x = \frac{11 π}{14}$

解题步骤 1.4.2

将 $5 x = \frac{11 π}{14}$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $5 x = \frac{11 π}{14}$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{11 π}{14}}{5}$

解题步骤 1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{11 π}{14}}{5}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{11 π}{14}}{5}$

解题步骤 1.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{11 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 1.4.2.3.2

乘以 $\frac{11 π}{14} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 1.4.2.3.2.1

将 $\frac{11 π}{14}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x = \frac{11 π}{14 \cdot 5}$

解题步骤 1.4.2.3.2.2

将 $14$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{11 π}{70}$

解题步骤 1.5

$y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ 的基期将出现在 $(- \frac{17 π}{70}, \frac{11 π}{70})$ ，其中 $- \frac{17 π}{70}$ 和 $\frac{11 π}{70}$ 为垂直渐近线。

$(- \frac{17 π}{70}, \frac{11 π}{70})$

解题步骤 1.6

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$\frac{2 π}{5}$

解题步骤 1.7

$y = - 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7}) + 1$ 的垂直渐近线出现在 $- \frac{17 π}{70}$ 、 $\frac{11 π}{70}$ 和每一个 $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ 处，其中 $n$ 是一个整数。这是周期的二分一。

$x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$

解题步骤 1.8

正割只具有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ ，其中 $n$ 是一个整数

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 2

使用 $a \sec (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = - 2$

$b = 5$

$c = - \frac{5 π}{7}$

$d = 1$

解题步骤 3

因为函数 $s e c$ 的图像没有最大值或最小值，所以不存在振幅值。

振幅：无

解题步骤 4

使用公式 $\frac{2 π}{| b |}$ 求周期。

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解题步骤 4.1

求 $- 2 \sec (5 x + \frac{5 π}{7})$ 的周期。

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解题步骤 4.1.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.1.2

使用周期公式中的 $5$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 5 |}$

解题步骤 4.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$\frac{2 π}{5}$

解题步骤 4.2

求 $1$ 的周期。

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解题步骤 4.2.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.2

使用周期公式中的 $5$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 5 |}$

解题步骤 4.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$\frac{2 π}{5}$

解题步骤 4.3

三角函数加、减后的周期是每一函数周期的最大值。

$\frac{2 π}{5}$

解题步骤 5

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 5.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 5.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{- \frac{5 π}{7}}{5}$

解题步骤 5.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $- \frac{5 π}{7} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 5.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

将 $- \frac{5 π}{7}$ 中前置负号移到分子中。

相移： $\frac{- 5 π}{7} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 5.4.2

从 $- 5 π$ 中分解出因数 $5$ 。

相移： $\frac{5 (- π)}{7} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 5.4.3

约去公因数。

相移： $\frac{5 (- π)}{7} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 5.4.4

重写表达式。

相移： $\frac{- π}{7}$

解题步骤 5.5

将负号移到分数的前面。

相移： $- \frac{π}{7}$

解题步骤 6

列出三角函数的性质。

振幅：无

周期： $\frac{2 π}{5}$

相移：： $- \frac{π}{7}$ （ $\frac{π}{7}$ 向左移动）

垂直位移： $1$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

垂直渐近线： $x = - \frac{17 π}{70} + \frac{π n}{5}$ ，其中 $n$ 是一个整数

振幅：无

周期： $\frac{2 π}{5}$

相移：： $- \frac{π}{7}$ （ $\frac{π}{7}$ 向左移动）

垂直位移： $1$

解题步骤 8

三角学 示例

三角学示例