三角学示例

$y = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (x + 4) + 2$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\log_{2} ({(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2$ 无定义。

$x \leq - 4$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 4$ 时， $\log_{2} ({(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 4$ 时， $\log_{2} ({(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - 4$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 4$

解题步骤 1.3

忽略对数，考虑分子的次数为 $n$ 且分母的次数为 $m$ 的有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 1.4

因为 $Q (x)$ 为 $1$ ，所以不存在水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 1.5

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 4$

不存在水平渐近线

垂直渐近线： $x = - 4$

不存在水平渐近线

解题步骤 2

求在 $x = - 3$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} ((- 3) + 4) + 2$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$f (- 3) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (1) + 2$

解题步骤 2.2.1.2

$1$ 的对数底 $2$ 的值为 $0$ 。

$f (- 3) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$f (- 3) = 0 + 2$

解题步骤 2.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f (- 3) = 2$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 2.3

把 $2$ 转换成小数。

$y = 2$

解题步骤 3

求在 $x = 0$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} ((0) + 4) + 2$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (4) + 2$

解题步骤 3.2.1.2

$4$ 的对数底 $2$ 的值为 $2$ 。

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2$

解题步骤 3.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.3.1

约去公因数。

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2$

解题步骤 3.2.1.3.2

重写表达式。

$f (0) = 1 + 2$

解题步骤 3.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (0) = 3$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 3.3

把 $3$ 转换成小数。

$y = 3$

解题步骤 4

求在 $x = - 2$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} ((- 2) + 4) + 2$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (2) + 2$

解题步骤 4.2.1.2

$2$ 的对数底 $2$ 的值为 $1$ 。

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 1 + 2$

解题步骤 4.2.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2) = \frac{1}{2} + 2$

解题步骤 4.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 2) = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 2) = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- 2) = \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- 2) = \frac{1 + 4}{2}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f (- 2) = \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.6

最终答案为 $\frac{5}{2}$ 。

$\frac{5}{2}$

解题步骤 4.3

把 $\frac{5}{2}$ 转换成小数。

$y = 2.5$

解题步骤 5

可以使用 $x = - 4$ 处的垂直渐近线和点 $(- 3, 2), (0, 3), (- 2, 2.5)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 2 \\ - 2 & 2.5 \\ 0 & 3 \end{array}$

解题步骤 6

三角学 示例

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