三角学示例

$\sin (2 θ)$

解题步骤 1

展开 $\sin (2 θ)$ 的好方法是利用棣美弗定理 $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ 。当 $r = 1$ 时， $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ 。

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

解题步骤 2

使用二项式定理来展开 $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ 的右边。

展开： ${(\cos (θ) + i \cdot \sin (θ))}^{2}$

解题步骤 3

将 ${(\cos (θ) + i \sin (θ))}^{2}$ 重写为 $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ 。

$(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\cos (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

解题步骤 5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

乘以 $\cos (θ) \cos (θ)$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

解题步骤 5.1.1.2

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

解题步骤 5.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

解题步骤 5.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

解题步骤 5.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

解题步骤 5.1.3

乘以 $i \sin (θ) (i \sin (θ))$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i \sin (θ) \sin (θ)$

解题步骤 5.1.3.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i^{1} \sin (θ) \sin (θ)$

解题步骤 5.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1 + 1} \sin (θ) \sin (θ)$

解题步骤 5.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin (θ) \sin (θ)$

解题步骤 5.1.3.5

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ))$

解题步骤 5.1.3.6

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))$

解题步骤 5.1.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1}$

解题步骤 5.1.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin^{2} (θ)$

解题步骤 5.1.4

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - 1 \sin^{2} (θ)$

解题步骤 5.1.5

将 $- 1 \sin^{2} (θ)$ 重写为 $- \sin^{2} (θ)$ 。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - \sin^{2} (θ)$

解题步骤 5.2

重新排序 $i \sin (θ) \cos (θ)$ 的因式。

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

解题步骤 5.3

将 $i \cos (θ) \sin (θ)$ 和 $i \cos (θ) \sin (θ)$ 相加。

$\cos^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

解题步骤 6

移动 $- \sin^{2} (θ)$ 。

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

解题步骤 7

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

解题步骤 8

化简每一项。

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解题步骤 8.1

添加圆括号。

$\cos (2 θ) + 2 i (\cos (θ) \sin (θ))$

解题步骤 8.2

将 $2 i$ 和 $\cos (θ) \sin (θ)$ 重新排序。

$\cos (2 θ) + \cos (θ) \sin (θ) (2 i)$

解题步骤 8.3

添加圆括号。

$\cos (2 θ) + \cos (θ) (\sin (θ) \cdot 2) i$

解题步骤 8.4

将 $\cos (θ)$ 和 $\sin (θ) \cdot 2$ 重新排序。

$\cos (2 θ) + \sin (θ) \cdot 2 \cos (θ) i$

解题步骤 8.5

将 $\sin (θ)$ 和 $2$ 重新排序。

$\cos (2 θ) + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ) i$

解题步骤 8.6

使用正弦倍角公式。

$\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$

解题步骤 9

将 $\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$ 中的因式重新排序。

$\cos (2 θ) + i \sin (2 θ)$

解题步骤 10

提取虚部等于 $\sin (2 θ)$ 的表达式。去掉虚数 $i$ 。

$\sin (2 θ) = 2 \sin (θ) \cos (θ)$

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