三角学示例

$f (x) = 4 x^{2} + 8 x - 5$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 x^{2} + 8 x - 5$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 4$

$b = 8$

$c = - 5$

解题步骤 1.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{4}{4}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.2.1

约去公因数。

$d = \frac{4}{4}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 5 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 5 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e = - 5 - \frac{64}{16}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $16$ 。

$e = - 5 - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = - 5 - 4$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

从 $- 5$ 中减去 $4$ 。

$e = - 9$

解题步骤 1.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $4 {(x + 1)}^{2} - 9$ 。

$4 {(x + 1)}^{2} - 9$

解题步骤 1.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = 4 {(x + 1)}^{2} - 9$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 4$

$h = - 1$

$k = - 9$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- 1, - 9)$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{16}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 1, - \frac{143}{16})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = - 1$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{145}{16}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(- 1, - 9)$

焦点： $(- 1, - \frac{143}{16})$

对称轴： $x = - 1$

准线： $y = - \frac{145}{16}$

方向：开口向上

顶点： $(- 1, - 9)$

焦点： $(- 1, - \frac{143}{16})$

对称轴： $x = - 1$

准线： $y = - \frac{145}{16}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = 4 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2) - 5$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = 4 \cdot 4 + 8 (- 2) - 5$

解题步骤 2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2) = 16 + 8 (- 2) - 5$

解题步骤 2.2.1.3

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = 16 - 16 - 5$

解题步骤 2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$f (- 2) = 0 - 5$

解题步骤 2.2.2.2

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$f (- 2) = - 5$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = - 2$ 处的值为 $- 5$ 。

$y = - 5$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = 4 {(- 3)}^{2} + 8 (- 3) - 5$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 3) = 4 \cdot 9 + 8 (- 3) - 5$

解题步骤 2.5.1.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$f (- 3) = 36 + 8 (- 3) - 5$

解题步骤 2.5.1.3

将 $8$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- 3) = 36 - 24 - 5$

解题步骤 2.5.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $36$ 中减去 $24$ 。

$f (- 3) = 12 - 5$

解题步骤 2.5.2.2

从 $12$ 中减去 $5$ 。

$f (- 3) = 7$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $7$ 。

$7$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = - 3$ 处的值为 $7$ 。

$y = 7$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 4 {(0)}^{2} + 8 (0) - 5$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 4 \cdot 0 + 8 (0) - 5$

解题步骤 2.8.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 8 (0) - 5$

解题步骤 2.8.1.3

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 5$

解题步骤 2.8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.8.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 - 5$

解题步骤 2.8.2.2

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$f (0) = - 5$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 0$ 处的值为 $- 5$ 。

$y = - 5$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 4 {(1)}^{2} + 8 (1) - 5$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 4 \cdot 1 + 8 (1) - 5$

解题步骤 2.11.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 4 + 8 (1) - 5$

解题步骤 2.11.1.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 4 + 8 - 5$

解题步骤 2.11.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.11.2.1

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$f (1) = 12 - 5$

解题步骤 2.11.2.2

从 $12$ 中减去 $5$ 。

$f (1) = 7$

解题步骤 2.11.3

最终答案为 $7$ 。

$7$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = 1$ 处的值为 $7$ 。

$y = 7$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 7 \\ - 2 & - 5 \\ - 1 & - 9 \\ 0 & - 5 \\ 1 & 7 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(- 1, - 9)$

焦点： $(- 1, - \frac{143}{16})$

对称轴： $x = - 1$

准线： $y = - \frac{145}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 7 \\ - 2 & - 5 \\ - 1 & - 9 \\ 0 & - 5 \\ 1 & 7 \end{array}$

解题步骤 4

三角学 示例

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