三角学示例

$a = 8$ , $c = 13$ , $B = 150$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

解题步骤 2

求解方程。

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cos (150)}$

解题步骤 4

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \sqrt{64 + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

解题步骤 4.2

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \sqrt{64 + 169 - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

解题步骤 4.3

乘以 $- 2 \cdot 8 \cdot 13$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$b = \sqrt{64 + 169 - 16 \cdot (13 \cos (150))}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 16$ 乘以 $13$ 。

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \cos (150)}$

解题步骤 4.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \cos (30))}$

解题步骤 4.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

解题步骤 4.6

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.6.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 4.6.2

从 $- 208$ 中分解出因数 $2$ 。

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 (- 104) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

解题步骤 4.6.3

约去公因数。

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 \cdot (- 104 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

解题步骤 4.6.4

重写表达式。

$b = \sqrt{64 + 169 - 104 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 4.7

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 104$ 。

$b = \sqrt{64 + 169 + 104 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.2

将 $64$ 和 $169$ 相加。

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

解题步骤 5

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 6

将已知值代入正弦定理以求 $A$ 。

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7

求解 $A$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $8$ 。

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

约去 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

化简 $8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (30)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.1.2

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (A) = 8 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (A) = 8 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

解题步骤 7.2.2.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ 。

$\sin (A) = 8 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.4.2

从 $2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 (\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}})}$

解题步骤 7.2.2.1.4.3

约去公因数。

$\sin (A) = 2 \cdot 4 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.4.4

重写表达式。

$\sin (A) = 4 \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.5

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ 。

$\sin (A) = \frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$A = \arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

解题步骤 7.4

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.4.1

计算 $\arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$ 。

$A = 11.34962381$

解题步骤 7.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 11.34962381$

解题步骤 7.6

从 $180$ 中减去 $11.34962381$ 。

$A = 168.65037618$

解题步骤 7.7

方程 $A = 11.34962381$ 的解。

$A = 11.34962381, 168.65037618$

解题步骤 7.8

排除无效角。

$A = 11.34962381$

解题步骤 8

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$11.34962381 + C + 150 = 180$

解题步骤 9

求解 $C$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $11.34962381$ 和 $150$ 相加。

$C + 161.34962381 = 180$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $161.34962381$ 。

$C = 180 - 161.34962381$

解题步骤 9.2.2

从 $180$ 中减去 $161.34962381$ 。

$C = 18.65037618$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 11.34962381$

$B = 150$

$C = 18.65037618$

$a = 8$

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

$c = 13$

三角学 示例

三角学示例