三角学示例

$C = 3$ , $a = 16$ , $b = 33$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

解题步骤 2

求解方程。

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$c = \sqrt{{(16)}^{2} + {(33)}^{2} - 2 \cdot 16 \cdot 33 \cos (3)}$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{256 + {(33)}^{2} - 2 \cdot 16 \cdot (33 \cos (3))}$

解题步骤 4.2

对 $33$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{256 + 1089 - 2 \cdot 16 \cdot (33 \cos (3))}$

解题步骤 4.3

乘以 $- 2 \cdot 16 \cdot 33$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $16$ 。

$c = \sqrt{256 + 1089 - 32 \cdot (33 \cos (3))}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 32$ 乘以 $33$ 。

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1056 \cos (3)}$

解题步骤 4.4

计算 $\cos (3)$ 。

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1056 \cdot 0.99862953}$

解题步骤 4.5

将 $- 1056$ 乘以 $0.99862953$ 。

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1054.5527887}$

解题步骤 4.6

将 $256$ 和 $1089$ 相加。

$c = \sqrt{1345 - 1054.5527887}$

解题步骤 4.7

从 $1345$ 中减去 $1054.5527887$ 。

$c = \sqrt{290.44721129}$

解题步骤 4.8

计算根。

$c = 17.04251188$

解题步骤 5

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 6

将已知值代入正弦定理以求 $A$ 。

$\frac{\sin (A)}{16} = \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

解题步骤 7

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $16$ 。

$16 \frac{\sin (A)}{16} = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$16 \frac{\sin (A)}{16} = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (A) = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

计算 $\sin (3)$ 。

$\sin (A) = 16 (\frac{0.05233595}{17.04251188})$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $0.05233595$ 除以 $17.04251188$ 。

$\sin (A) = 16 \cdot 0.0030709$

解题步骤 7.2.2.1.3

将 $16$ 乘以 $0.0030709$ 。

$\sin (A) = 0.04913449$

解题步骤 7.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$A = \arcsin (0.04913449)$

解题步骤 7.4

化简右边。

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解题步骤 7.4.1

计算 $\arcsin (0.04913449)$ 。

$A = 2.81633345$

解题步骤 7.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 2.81633345$

解题步骤 7.6

从 $180$ 中减去 $2.81633345$ 。

$A = 177.18366654$

解题步骤 7.7

方程 $A = 2.81633345$ 的解。

$A = 2.81633345, 177.18366654$

解题步骤 7.8

排除无效角。

$A = 2.81633345$

解题步骤 8

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$2.81633345 + 3 + B = 180$

解题步骤 9

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 9.1

将 $2.81633345$ 和 $3$ 相加。

$5.81633345 + B = 180$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $5.81633345$ 。

$B = 180 - 5.81633345$

解题步骤 9.2.2

从 $180$ 中减去 $5.81633345$ 。

$B = 174.18366654$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 2.81633345$

$B = 174.18366654$

$C = 3$

$a = 16$

$b = 33$

$c = 17.04251188$

三角学 示例

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