三角学示例

$B = 85$ , $C = 15$ , $b = 40$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求 $c$ 。

$\frac{\sin (15)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3

求解 $c$ 的方程。

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解题步骤 3.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 3.1.1

$\sin (15)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\sin (45 - 30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.2

将被减数和减数分开。

$\frac{\sin (45 - (30))}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.3

应用角度恒等式的差。

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.4

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.6

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.7

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.8

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.8.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1.8.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.1.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.3

将 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{c}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 3.1.4

计算 $\sin (85)$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = \frac{0.99619469}{40}$

解题步骤 3.1.5

用 $0.99619469$ 除以 $40$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$4 c, 1$

解题步骤 3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$4 c$

解题步骤 3.3

将 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$ 中的每一项乘以 $4 c$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$ 中的每一项乘以 $4 c$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} (4 c) = 0.02490486 (4 c)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} c = 0.02490486 (4 c)$

解题步骤 3.3.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $4 c$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (c)} c = 0.02490486 (4 c)$

解题步骤 3.3.2.2.2

约去公因数。

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} c = 0.02490486 (4 c)$

解题步骤 3.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{c} c = 0.02490486 (4 c)$

解题步骤 3.3.2.3

约去 $c$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{c} c = 0.02490486 (4 c)$

解题步骤 3.3.2.3.2

重写表达式。

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.02490486 (4 c)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $4$ 乘以 $0.02490486$ 。

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.09961946 c$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ 。

$0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

解题步骤 3.4.2

将 $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $0.09961946$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $0.09961946$ 。

$\frac{0.09961946 c}{0.09961946} = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $0.09961946$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.09961946 c}{0.09961946} = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $c$ 除以 $1$ 。

$c = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.3.1.1

计算根。

$c = \frac{2.44948974}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2

用 $2.44948974$ 除以 $0.09961946$ 。

$c = 24.58846395 + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

解题步骤 3.4.2.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$c = 24.58846395 - \frac{\sqrt{2}}{0.09961946}$

解题步骤 3.4.2.3.1.4

计算根。

$c = 24.58846395 - \frac{1.41421356}{0.09961946}$

解题步骤 3.4.2.3.1.5

用 $1.41421356$ 除以 $0.09961946$ 。

$c = 24.58846395 - 1 \cdot 14.19615628$

解题步骤 3.4.2.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $14.19615628$ 。

$c = 24.58846395 - 14.19615628$

解题步骤 3.4.2.3.2

从 $24.58846395$ 中减去 $14.19615628$ 。

$c = 10.39230767$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$A + 15 + 85 = 180$

解题步骤 5

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $15$ 和 $85$ 相加。

$A + 100 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $100$ 。

$A = 180 - 100$

解题步骤 5.2.2

从 $180$ 中减去 $100$ 。

$A = 80$

解题步骤 6

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 7

将已知值代入正弦定理以求 $a$ 。

$\frac{\sin (80)}{a} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 8

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 8.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 8.1.1

计算 $\sin (80)$ 。

$\frac{0.98480775}{a} = \frac{\sin (85)}{40}$

解题步骤 8.1.2

计算 $\sin (85)$ 。

$\frac{0.98480775}{a} = \frac{0.99619469}{40}$

解题步骤 8.1.3

用 $0.99619469$ 除以 $40$ 。

$\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$

解题步骤 8.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 8.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$a, 1$

解题步骤 8.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$a$

解题步骤 8.3

将 $\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$ 中的每一项乘以 $a$ 以消去分数。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$ 中的每一项乘以 $a$ 。

$\frac{0.98480775}{a} a = 0.02490486 a$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

约去 $a$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.98480775}{a} a = 0.02490486 a$

解题步骤 8.3.2.1.2

重写表达式。

$0.98480775 = 0.02490486 a$

解题步骤 8.4

求解方程。

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解题步骤 8.4.1

将方程重写为 $0.02490486 a = 0.98480775$ 。

$0.02490486 a = 0.98480775$

解题步骤 8.4.2

将 $0.02490486 a = 0.98480775$ 中的每一项除以 $0.02490486$ 并化简。

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解题步骤 8.4.2.1

将 $0.02490486 a = 0.98480775$ 中的每一项都除以 $0.02490486$ 。

$\frac{0.02490486 a}{0.02490486} = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

解题步骤 8.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.2.1

约去 $0.02490486$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.02490486 a}{0.02490486} = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

解题步骤 8.4.2.2.1.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$a = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

解题步骤 8.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.3.1

用 $0.98480775$ 除以 $0.02490486$ 。

$a = 39.54278234$

解题步骤 9

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 80$

$B = 85$

$C = 15$

$a = 39.54278234$

$b = 40$

$c = 10.39230767$

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