三角学示例

$A = 45$ , $B = 52$ , $a = 15$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求 $b$ 。

$\frac{\sin (52)}{b} = \frac{\sin (45)}{15}$

解题步骤 3

求解 $b$ 的方程。

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解题步骤 3.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 3.1.1

计算 $\sin (52)$ 。

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sin (45)}{15}$

解题步骤 3.1.2

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{15}$

解题步骤 3.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$

解题步骤 3.1.4

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{15}$ 。

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 15}$

解题步骤 3.1.4.2

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$b, 30$

解题步骤 3.2.2

Since $b, 30$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 30$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

解题步骤 3.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 3.2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 3.2.5

$30$ 的质因数是 $2 \cdot 3 \cdot 5$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

$30$ 具有因式 $2$ 和 $15$ 。

$2 \cdot 15$

解题步骤 3.2.5.2

$15$ 具有因式 $3$ 和 $5$ 。

$2 \cdot 3 \cdot 5$

解题步骤 3.2.6

乘以 $2 \cdot 3 \cdot 5$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 \cdot 5$

解题步骤 3.2.6.2

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$30$

解题步骤 3.2.7

$b^{1}$ 的因式是 $b$ 本身。

$b^{1} = b$

$b$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.2.8

$b^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$b$

解题步骤 3.2.9

$b, 30$ 的最小公倍数为数字部分 $30$ 乘以变量部分。

$30 b$

解题步骤 3.3

将 $\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ 中的每一项乘以 $30 b$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{0.78801075}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ 中的每一项乘以 $30 b$ 。

$\frac{0.78801075}{b} (30 b) = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$30 \frac{0.78801075}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

解题步骤 3.3.2.2

乘以 $30 \frac{0.78801075}{b}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1

组合 $30$ 和 $\frac{0.78801075}{b}$ 。

$\frac{30 \cdot 0.78801075}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $30$ 乘以 $0.78801075$ 。

$\frac{23.6403226}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

解题步骤 3.3.2.3

约去 $b$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{23.6403226}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

解题步骤 3.3.2.3.2

重写表达式。

$23.6403226 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

约去 $30$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1

从 $30 b$ 中分解出因数 $30$ 。

$23.6403226 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 (b))$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去公因数。

$23.6403226 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

解题步骤 3.3.3.1.3

重写表达式。

$23.6403226 = \sqrt{2} b$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $\sqrt{2} b = 23.6403226$ 。

$\sqrt{2} b = 23.6403226$

解题步骤 3.4.2

将 $\sqrt{2} b = 23.6403226$ 中的每一项除以 $\sqrt{2}$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $\sqrt{2} b = 23.6403226$ 中的每一项都除以 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $\sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $b$ 除以 $1$ 。

$b = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

将 $\frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$b = \frac{23.6403226}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.2.3.2.1

将 $\frac{23.6403226}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.3.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.3.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.4.2.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.2.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.3.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.2.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.2.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.2.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.2.6.4.1

约去公因数。

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.2.3.2.6.4.2

重写表达式。

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.4.2.3.2.6.5

计算指数。

$b = \frac{23.6403226 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.4.2.3.3

将 $23.6403226$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

$b = \frac{33.43246485}{2}$

解题步骤 3.4.2.3.4

用 $33.43246485$ 除以 $2$ 。

$b = 16.71623242$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$45 + C + 52 = 180$

解题步骤 5

求解 $C$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $45$ 和 $52$ 相加。

$C + 97 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $97$ 。

$C = 180 - 97$

解题步骤 5.2.2

从 $180$ 中减去 $97$ 。

$C = 83$

解题步骤 6

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 7

将已知值代入正弦定理以求 $c$ 。

$\frac{\sin (83)}{c} = \frac{\sin (45)}{15}$

解题步骤 8

求解 $c$ 的方程。

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解题步骤 8.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 8.1.1

计算 $\sin (83)$ 。

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sin (45)}{15}$

解题步骤 8.1.2

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{15}$

解题步骤 8.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$

解题步骤 8.1.4

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$ 。

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解题步骤 8.1.4.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{15}$ 。

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 15}$

解题步骤 8.1.4.2

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{30}$

解题步骤 8.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 8.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$c, 30$

解题步骤 8.2.2

Since $c, 30$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 30$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

解题步骤 8.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 8.2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 8.2.5

$30$ 的质因数是 $2 \cdot 3 \cdot 5$ 。

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解题步骤 8.2.5.1

$30$ 具有因式 $2$ 和 $15$ 。

$2 \cdot 15$

解题步骤 8.2.5.2

$15$ 具有因式 $3$ 和 $5$ 。

$2 \cdot 3 \cdot 5$

解题步骤 8.2.6

乘以 $2 \cdot 3 \cdot 5$ 。

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解题步骤 8.2.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 \cdot 5$

解题步骤 8.2.6.2

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$30$

解题步骤 8.2.7

$c^{1}$ 的因式是 $c$ 本身。

$c^{1} = c$

$c$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 8.2.8

$c^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$c$

解题步骤 8.2.9

$c, 30$ 的最小公倍数为数字部分 $30$ 乘以变量部分。

$30 c$

解题步骤 8.3

将 $\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ 中的每一项乘以 $30 c$ 以消去分数。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{0.99254615}{c} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ 中的每一项乘以 $30 c$ 。

$\frac{0.99254615}{c} (30 c) = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$30 \frac{0.99254615}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

解题步骤 8.3.2.2

乘以 $30 \frac{0.99254615}{c}$ 。

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解题步骤 8.3.2.2.1

组合 $30$ 和 $\frac{0.99254615}{c}$ 。

$\frac{30 \cdot 0.99254615}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

解题步骤 8.3.2.2.2

将 $30$ 乘以 $0.99254615$ 。

$\frac{29.77638454}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

解题步骤 8.3.2.3

约去 $c$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{29.77638454}{c} c = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

解题步骤 8.3.2.3.2

重写表达式。

$29.77638454 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

解题步骤 8.3.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.3.1

约去 $30$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1.1

从 $30 c$ 中分解出因数 $30$ 。

$29.77638454 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 (c))$

解题步骤 8.3.3.1.2

约去公因数。

$29.77638454 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 c)$

解题步骤 8.3.3.1.3

重写表达式。

$29.77638454 = \sqrt{2} c$

解题步骤 8.4

求解方程。

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解题步骤 8.4.1

将方程重写为 $\sqrt{2} c = 29.77638454$ 。

$\sqrt{2} c = 29.77638454$

解题步骤 8.4.2

将 $\sqrt{2} c = 29.77638454$ 中的每一项除以 $\sqrt{2}$ 并化简。

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解题步骤 8.4.2.1

将 $\sqrt{2} c = 29.77638454$ 中的每一项都除以 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} c}{\sqrt{2}} = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.2.1

约去 $\sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2} c}{\sqrt{2}} = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.4.2.2.1.2

用 $c$ 除以 $1$ 。

$c = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.3.1

将 $\frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$c = \frac{29.77638454}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.4.2.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 8.4.2.3.2.1

将 $\frac{29.77638454}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.4.2.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.3.2.6.4.1

约去公因数。

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6.4.2

重写表达式。

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6.5

计算指数。

$c = \frac{29.77638454 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.4.2.3.3

将 $29.77638454$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

$c = \frac{42.11016686}{2}$

解题步骤 8.4.2.3.4

用 $42.11016686$ 除以 $2$ 。

$c = 21.05508343$

解题步骤 9

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 45$

$B = 52$

$C = 83$

$a = 15$

$b = 16.71623242$

$c = 21.05508343$

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