三角学示例

$(- \frac{1}{5}, \frac{1}{2})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(- \frac{1}{5}, \frac{1}{2})$ 之间）之间的 $\cos (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(- \frac{1}{5}, 0)$ 和 $(- \frac{1}{5}, \frac{1}{2})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{1}{2}$

邻边： $- \frac{1}{5}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1

对 $- \frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 \frac{1^{2}}{5^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{5^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.7

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 2.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1}{4}}$

解题步骤 2.9

要将 $\frac{1}{25}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{25} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

解题步骤 2.10

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{25} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{25}}$

解题步骤 2.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $100$ 的形式。

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解题步骤 2.11.1

将 $\frac{1}{25}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{4}{25 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{25}}$

解题步骤 2.11.2

将 $25$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{4}{100} + \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{25}}$

解题步骤 2.11.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\sqrt{\frac{4}{100} + \frac{25}{4 \cdot 25}}$

解题步骤 2.11.4

将 $4$ 乘以 $25$ 。

$\sqrt{\frac{4}{100} + \frac{25}{100}}$

解题步骤 2.12

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{4 + 25}{100}}$

解题步骤 2.13

将 $4$ 和 $25$ 相加。

$\sqrt{\frac{29}{100}}$

解题步骤 2.14

将 $\sqrt{\frac{29}{100}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{100}}$ 。

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{100}}$

解题步骤 2.15

化简分母。

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解题步骤 2.15.1

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{10^{2}}}$

解题步骤 2.15.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{29}}{10}$

解题步骤 3

因为 $\cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$ ，所以 $\cos (θ) = \frac{- \frac{1}{5}}{\frac{\sqrt{29}}{10}}$ 。

$\frac{- \frac{1}{5}}{\frac{\sqrt{29}}{10}}$

解题步骤 4

化简 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\cos (θ) = - \frac{1}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{29}}$

解题步骤 4.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

将 $- \frac{1}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$\cos (θ) = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{29}}$

解题步骤 4.2.2

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\cos (θ) = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 (2)}{\sqrt{29}}$

解题步骤 4.2.3

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{29}}$

解题步骤 4.2.4

重写表达式。

$\cos (θ) = - \frac{2}{\sqrt{29}}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{2}{\sqrt{29}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ 。

$\cos (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}})$

解题步骤 4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{29}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

解题步骤 4.4.2

对 $\sqrt{29}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

解题步骤 4.4.3

对 $\sqrt{29}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

解题步骤 4.4.6

将 ${\sqrt{29}}^{2}$ 重写为 $29$ 。

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解题步骤 4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{29}$ 重写成 $29^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29}$

解题步骤 4.4.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29}$

解题步骤 5

求近似值。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29} \approx - 0.37139067$

三角学 示例

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