三角学示例

$(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 之间）之间的 $\cos (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ 和 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

邻边： $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1

对 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{5^{1}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{5}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{25} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.5

约去 $5$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5 (1)}{25} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.6.1

对 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.6.2

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.7.2

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.7.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.7.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.7.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.7.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.7.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5^{2}}}$

解题步骤 2.8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{25}}$

解题步骤 2.8.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{20}{25}}$

解题步骤 2.8.3

约去 $20$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.3.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 (4)}{25}}$

解题步骤 2.8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.8.3.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 2.8.3.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 2.8.3.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}$

解题步骤 2.8.4

化简表达式。

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解题步骤 2.8.4.1

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 + 4}{5}}$

解题步骤 2.8.4.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{\frac{5}{5}}$

解题步骤 2.8.4.3

用 $5$ 除以 $5$ 。

$\sqrt{1}$

解题步骤 2.8.4.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 3

因为 $\cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$ ，所以 $\cos (θ) = \frac{- \frac{\sqrt{5}}{5}}{1}$ 。

$\frac{- \frac{\sqrt{5}}{5}}{1}$

解题步骤 4

用 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ 除以 $1$ 。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5

求近似值。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5} \approx - 0.44721359$

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