三角学示例

$(- 8, \frac{p}{3})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(- 8, \frac{p}{3})$ 之间）之间的 $\sin (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(- 8, 0)$ 和 $(- 8, \frac{p}{3})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{p}{3}$

邻边： $- 8$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{64 + {(\frac{p}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{p}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{64 + \frac{p^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{64 + \frac{p^{2}}{9}}$

解题步骤 2.4

要将 $64$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{64 \cdot \frac{9}{9} + \frac{p^{2}}{9}}$

解题步骤 2.5

组合 $64$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{\frac{64 \cdot 9}{9} + \frac{p^{2}}{9}}$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{64 \cdot 9 + p^{2}}{9}}$

解题步骤 2.7

将 $64$ 乘以 $9$ 。

$\sqrt{\frac{576 + p^{2}}{9}}$

解题步骤 2.8

将 $\frac{576 + p^{2}}{9}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2} (576 + p^{2})$ 。

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解题步骤 2.8.1

从 $576 + p^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} (576 + p^{2})}{9}}$

解题步骤 2.8.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} (576 + p^{2})}{3^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 2.8.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (576 + p^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (576 + p^{2})}$

解题步骤 2.9

从根式下提出各项。

$\frac{1}{3} \sqrt{576 + p^{2}}$

解题步骤 2.10

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{576 + p^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{3}$

解题步骤 3

因为 $\sin (θ) = \frac{取反}{斜边}$ ，所以 $\sin (θ) = \frac{\frac{p}{3}}{\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{3}}$ 。

$\frac{\frac{p}{3}}{\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{3}}$

解题步骤 4

化简 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (θ) = \frac{p}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{576 + p^{2}}}$

解题步骤 4.2

合并。

$\sin (θ) = \frac{p \cdot 3}{3 \sqrt{576 + p^{2}}}$

解题步骤 4.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{p \cdot 3}{3 \sqrt{576 + p^{2}}}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}}}$

解题步骤 4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 4.5.1

将 $\frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}} \sqrt{576 + p^{2}}}$

解题步骤 4.5.2

对 $\sqrt{576 + p^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}} \sqrt{576 + p^{2}}}$

解题步骤 4.5.3

对 $\sqrt{576 + p^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}} \sqrt{576 + p^{2}}}$

解题步骤 4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{\sqrt{576 + p^{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{\sqrt{576 + p^{2}}}^{2}}$

解题步骤 4.5.6

将 ${\sqrt{576 + p^{2}}}^{2}$ 重写为 $576 + p^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{576 + p^{2}}$ 重写成 ${(576 + p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{({(576 + p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{(576 + p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{(576 + p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{(576 + p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}}$

解题步骤 4.5.6.5

化简。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}} \approx \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}}$

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