三角学示例

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1

要将 $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5

以因式分解的形式重写 $\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$ 。

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解题步骤 5.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.3.1.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.3.1.4

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.3.1.4.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.3.1.4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.3.2

将 $\sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.4

以因式分解的形式重写 $\cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.4.1

重新组合项。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.4.2

重新整理项。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.4.3

使用勾股恒等式。

$\frac{1 + 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.4.5

从 $2 + 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.4.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.4.5.2

从 $2 \cdot 1 + 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.4.5.3

将 $2$ 乘以 $1 + \sin (x)$ 。

$\frac{2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.5

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$ 。

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解题步骤 5.5.1

约去公因数。

$\frac{2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 5.5.2

重写表达式。

$\frac{2}{\cos (x)}$

解题步骤 6

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{2}{1} \sec (x)$

解题步骤 8

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \sec (x)$

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