三角学示例

$\sin (x) = \frac{8}{9}$ , $\cos (2 x)$

解题步骤 1

使用正弦的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\sin (x) = \frac{对边}{斜边}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的邻边。由于斜边和对边已知，使用勾股定理即可求最后一条边。

$邻边 = \sqrt{{斜边}^{2} - {对边}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

$邻边 = \sqrt{{(9)}^{2} - {(8)}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

邻边 $= \sqrt{81 - {(8)}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

邻边 $= \sqrt{81 - 1 \cdot 64}$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

邻边 $= \sqrt{81 - 64}$

解题步骤 4.4

从 $81$ 中减去 $64$ 。

邻边 $= \sqrt{17}$

解题步骤 5

使用余弦的定义求 $\cos (x)$ 的值。

$\cos (x) = \frac{相邻}{斜边}$

解题步骤 6

代入已知值。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

解题步骤 7

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1$

解题步骤 8

使用 $c o s$ 的定义求 $\cos (x)$ 的值。在本例中，即 $\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

解题步骤 9

将值代入 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 中。

$\cos (2 x) = 2 {(\frac{\sqrt{17}}{9})}^{2} - 1$

解题步骤 10

计算 $2 {(\frac{\sqrt{17}}{9})}^{2} - 1$ 以求 $\cos (2 x)$ 。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

对 $\frac{\sqrt{17}}{9}$ 运用乘积法则。

$\cos (2 x) = 2 (\frac{{\sqrt{17}}^{2}}{9^{2}}) - 1$

解题步骤 10.1.2

将 ${\sqrt{17}}^{2}$ 重写为 $17$ 。

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解题步骤 10.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{17}$ 重写成 $17^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (2 x) = 2 (\frac{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9^{2}}) - 1$

解题步骤 10.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9^{2}}) - 1$

解题步骤 10.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}) - 1$

解题步骤 10.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.2.4.1

约去公因数。

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}) - 1$

解题步骤 10.1.2.4.2

重写表达式。

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{9^{2}}) - 1$

解题步骤 10.1.2.5

计算指数。

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{9^{2}}) - 1$

解题步骤 10.1.3

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{81}) - 1$

解题步骤 10.1.4

乘以 $2 (\frac{17}{81})$ 。

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解题步骤 10.1.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{17}{81}$ 。

$\cos (2 x) = \frac{2 \cdot 17}{81} - 1$

解题步骤 10.1.4.2

将 $2$ 乘以 $17$ 。

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} - 1$

解题步骤 10.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{81}{81}$ 。

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} - 1 \cdot \frac{81}{81}$

解题步骤 10.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{81}{81}$ 。

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} + \frac{- 1 \cdot 81}{81}$

解题步骤 10.4

在公分母上合并分子。

$\cos (2 x) = \frac{34 - 1 \cdot 81}{81}$

解题步骤 10.5

化简分子。

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解题步骤 10.5.1

将 $- 1$ 乘以 $81$ 。

$\cos (2 x) = \frac{34 - 81}{81}$

解题步骤 10.5.2

从 $34$ 中减去 $81$ 。

$\cos (2 x) = \frac{- 47}{81}$

解题步骤 10.6

将负号移到分数的前面。

$\cos (2 x) = - \frac{47}{81}$

三角学 示例

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